Méthodes de Monte Carlo appliquées au pricing d ... - Maths-fi.com

3.2. Variables de contrôleSi v g correspond bien à un estimateur convergent, sans biais, de var [g (X)], le fait de remplacervar [g (X)] par v g dans la formule (3.3) introduit une nouvelle source d’erreur liée à l’aléa del’échantillonnage.Notons en outre que l’erreur induite par l’utilisation de la statistique v g est d’autant plus importanteque c g et v g ne sont pas des statistiques indépendantes. La corrélation entre ces deuxstatistiques conduit à sur-estimer, ou sous-estimer, la précision de l’estimateur c g . Par exemple,dans le cas particulier où g (X) est une variable de Bernoulli de paramètre λ, Fishman [8] montrequelim corr (c g, v g ) =N→∞⎧⎨⎩1 si 0 ≤ λ < 1 20 λ = 1 2.1−12 < λ ≤ 1En général, la corrélation entre c g et v g ne tend donc pas vers 0 lorsque le nombre de simulationsutilisées tend vers l’infini.Les intervalles de confiance que nous présentons dans les divers applications numériques reposentsur l’utilisation de la formule 3.4 page précédente. Les quelques remarques que nous venons deformuler montrent qu’il s’agit d’un outil de contrôle imparfait. Il permet néanmoins d’avoir unepremière idée de la vitesse de convergence des estimateurs que nous allons construire.3.2 Variables de contrôleCette première méthode repose sur la connaissance d’une fonction h pour laquelle on sait calculerI h = E Q [h (X)]. On peut alors construire un nouvel estimateur sans biais de I g exploitant cetteinformation supplémentaire. On considère pour cela l’estimateur c ctl défini de la façon suivantec ctl (β) = c g − β (c h − I h ) (3.5)où c h est l’estimateur de Monte Carlo standard de I h . La variance de c ctl estvar (c ctl ) = var (c g ) + β 2 var (c h ) − 2βcov (c g , c h ) ,si bien que le choix optimal pour β correspond àβ ∗ = cov (c g, c h )var (c h ) ,( )la variance de c ctl (β ∗ ) étant alors égale à 1 − ρ 2 g,hvar (c g ) . Notons que si la variance de c ctl (β ∗ )est nécessairement inférieure à la variance de c g , une forte réduction de la variance implique cependantune corrélation très élevée entre la variable g (X) et la variable de contrôle h (X) , ce quilimite la portée de cette première méthode.D’un point de vue pratique, β ∗ étant inconnu (on ne connaît pas a priori cov (c g , c h )), onconstruit dans un premier temps un estimateur de ce paramètre à partir d’un nombre relativementréduit de simulations. La valeur obtenue est alors utilisée pour construire un estimateur c ctl de I g .Notons que l’estimation préliminaire de β ∗ ne biaise pas l’estimation de I g par c ctl , que l’on réalisedans un second temps seulement, de façon indépendante.Dans l’application suivante, l’utilisation d’une variable de contrôle s’avère particulièrement efficace.31