Méthodes de Monte Carlo appliquées au pricing d ... - Maths-fi.com

3Méthodes de Monte Carlo appliquées au pricingd’option : calcul d’intégrales, accélération de laconvergenceLe cadre d’analyse est posé de la façon suivante. On considère un espace probabilisé (Ω, F, Q) eton se donne un variable aléatoire X à valeurs dans un espace S, de loi µ (dx). On souhaite estimernumériquement, à partir d’une méthode de simulation de Monte Carlo, le paramètre d’intérêt∫I g =Sg (x) µ (dx) = E Q [g (X)] (3.1)où g représente une fonction µ-intégrable. La méthode de Monte Carlo standard consiste à réaliserN tirages aléatoires indépendants (x 1 , . . . , x N ) suivant la loi µ et à considérerc g = 1 NN∑g (x k ) (3.2)k=1comme estimateur du paramètre I g . Il s’agit ici d’une application directe de la loi forte des grandsnombres qui, compte tenu des hypothèses que l’on vient de formuler, assure quelim c g = I g p.s.N→∞L’objet de cette partie est de présenter les méthodes usuelles qui permettent de construire desestimateurs de I g convergeant plus rapidement que l’estimateur standard c g . Dans le cas des méthodesde Monte Carlo, le contrôle de la convergence se traduit en terme de variance : l’objet desméthodes d’accélération est de déterminer des estimateurs de I g dont la variance est inférieure àvar (c g ). Plus cette variance sera faible et plus l’intervalle de confiance centré sur l’estimateur serapetit (cf. théorème central limite).Utilisation d’une variable de contrôle, échantillonnage d’importance , stratification et utilisationde variables antithétiques sont les quatre méthodes de réduction de la variance exposées dans cettepartie. Dans chacun des cas, nous présentons un exemple d’application à la finance afin de montrercomment ces méthodes peuvent être utiliser pour l’évaluation de produits dérivés.