Méthodes de Monte Carlo appliquées au pricing d ... - Maths-fi.com

5.1. Le problème de l’agrégation de (et dans) la valeur en risqueAgrégation dans le cas de la copule NormaleConsidérons le cas où X = (X 1 , X 2 ) est un vecteur aléatoire gaussien standard de corrélation ρ.Nous avons V ar (X 1 ; α) = V ar (X 2 ; α) = Φ −1 (α). X 1 + X 2 est une variable aléatoire gaussiennecentrée de variance 2 (1 + ρ). Nous en déduisons queNous avons donc les cas particuliers suivants :V ar (X 1 + X 2 ; α) = √ 2 (1 + ρ)Φ −1 (α)ρ −1 0 1V ar (X 1 + X 2 ) 0 [V ar (X 1 ) + V ar (X 2 )] 1/2 V ar (X 1 ) + V ar (X 2 )Encore une fois, il apparaît que le choix de la dépendance est primordial pour agréger les risques.Considérons maintenant le cas où X 1 ∼ N (0, 1) et X 2 ∼ t 3 . Le graphique 5.2 représenteV ar (X 1 + X 2 ; α) en fonction du paramètre ρ de la copule Normale.Graphique 5.2. V ar (X 1 + X 2; α) lorsque X 1 ∼ N (0, 1), X 2 ∼ t 3 et C 〈X 1, X 2〉 est une copule NormaleUtilisation de la la copule StudentNous Reprenons ici l’exemple précédent (X 1 ∼ N (0, 1) et X 2 ∼ t 3 ) non plus dans le cas dela copule Normale mais dans celui de la copule Student. Le graphique 5.3 page suivante représenteV ar (X 1 + X 2 ; α) en fonction du paramètre ρ des copules Normale et Student (ν = 1). Nousconstatons que la mesure est plus grande pour cette dernière copule.Les différentes composantes de la mesure des risquesL’approche copule de la mesure du risque que nous venons de développer dans les exemplesprécédents met en évidence les deux principales sources de risque à modéliser :61