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3.3. Échantillonnage d’importanceApplicationNous reprenons ici l’exemple introduit à la sous-section 3.2 page 31. Le paramètre d’intérêt I Xpeut s’écrire∫I X = X t (z) φ (z) dzDoù φ représente la densité de la loi normale centrée réduite en dimension d, et D le domaine de R dsur lequel X t est strictement positif. Pour toute fonction de densité h telle que∀z ∈ D, si φ (z) > 0, alors h (z) > 0,on peut réécrire I X sous la forme∫I X =DX t (z) φ (z) h (z) dz.h (z)Ainsi, en considérant N réalisations indépendantes (z 1 , . . . z N ) d’une variable aléatoire distribuéesur R d suivant la loi h, on construit un nouvel estimateur sans biais de I X en posantc h = 1 NN∑i=1φ (z i )h (z i ) X t (z i ) .Cet estimateur a pour variance∫var (c h ) = 1 N= 1 ∫NDD( ) 2 φ (z)h (z) X t (z) − I X h (z) dz.φ (z)h (z) X2 t (z) φ (z) dz − 1 N I2 XIl convient donc de choisir h de telle sorte que V (h) = E φφ(Z)h(Z) X2 t (Z) soit le plus petit possible.Choix de la fonction d’importance.L’obtention de la fonction h optimale étant impossible, on restreint le domaine des fonctionsadmissibles aux densités des lois normales N (µ, I d ), µ ∈ R d . On souhaite donc déterminer levecteur µ qui rend V (h) = E φ(Z)h(Z) X2 t (Z) le plus petit possible, avec( )φ (Z) 1h (Z) = exp 2 µ′ µ − µ ′ Z .On ne cherchera pas ici à résoudre ce programme. On utilisera plutôt le raisonnement heuristiquesuivant :Pour qu’un échantillonnage d’importance soit efficace, il faut que la loi instrumentale permette denombreux tirages dans les regions de D où φ (z) X t (z) prend des valeurs élevées, les tirages dansles régions où φ (z) X t (z) prend des petites valeurs étant alors plus rares. La pondération par φ(z)h(z)permet de “lisser” le résultat : les termes tels que φ (z) X t (z) est petit sont associés à une petitevaleur de h (z), et inversement, les termes tels que φ (z) X t (z) est élevé sont associés à une valeurélevée de h (z).On choisira donc le vecteur µ comme solution demax ln X t (z) − 1z∈D 2 z′ z36
3.3. Échantillonnage d’importanceGlasserman [13] montre “qu’asymptotiquement”, il est équivalent de résoudre ce dernier programmeou de minimiser V (h).L’estimateur c µ que l’on considère dans les applications numériques suivantes s’écrit :c µ = 1 NN∑e 1 2 µ′ µ−µ ′ z iX t (z i )où (z 1 , . . . , z N ) sont N réalisations indépendantes d’une loi normale N (µ, I d ).Applications.i=1On considère à nouveau les trois valeurs de K fixées à la sous-section 3.2 page 31. De même quepour l’estimateur contrôlé, l’estimateur pondéré conduit à une réduction de variance plus ou moinsimportante selon la valeur de K considérée. Les graphiques 3.4 page suivante, 3.5 page suivanteet 3.6 page suivante illustrent le comportement des estimateurs pondérés en fonction du nombrede simulations.K = 102.5 : La variance de l’estimateur pondéré c µ est 9 fois plus petite que celle de l’estimateurstandard c X .K = 50 : La variance de l’estimateur pondéré c µ est 90 fois plus petite que celle de l’estimateurstandard c X .K = 150 : La variance de l’estimateur pondéré c µ est 400 fois plus petite que celle de l’estimateurstandard c X . On constate qu’ici, l’échantillonnage d’importance est particulièrement efficace.Ceci est dû au fait que le domaine D sur lequel X t > 0 correspond à un événement rare dansla mesure où A 0 = 102.5, ce qui est nettement inférieur à K = 150. L’utilisation d’une loinormale centrée sur 0 pour la simulation de X t ne permet que très rarement d’atteindre ledomaine D. Le décentrage par l’intermédiaire du vecteur µ est particulièrement efficace caril accroît de façon conséquente le nombre de tirages au sein du domaine D.Échantillonnage d’importance et variable de contrôle.Dans ce dernier paragraphe, on construit un estimateur à partir des deux méthodes que l’onvient de présenter : on applique la technique d’échantillonnage d’importance de façon simultanéeà X t et à la variable de contrôle Y t . Le graphiques 3.4 page suivante, 3.5 page suivante 3.6 pagesuivante rendent compte de la vitesse de convergence d’un tel estimateur toujours pour les troismêmes valeurs de K.K = 102.5 : Le coefficient de corrélation entre les deux variables pondérées X t et Y t est estimé à96%, ce qui induit une valeur de 1.077 pour β. La variance de l’estimateur ainsi construitest 118 fois plus petite que la variance de l’estimateur standard. Notons que dans ce premiercas, l’échantillonnage d’importance ne permet pas d’améliorer de façon très sensible lesperformances de l’estimateur contrôlé.K = 50 : Le coefficient de corrélation entre les deux variables pondérées est estimé à 89.05%, cequi induit une valeur de 0.875 pour β. La variance de l’estimateur est réduite dans un rapportde 435. Le cumul des deux méthodes s’avère donc ici plutôt efficace. L’estimateur pondéréayant déjà permis à lui seul une réduction de variance de 90, l’ajout de la variable de contrôlepermet de multiplier cette valeur par 5 environ.K = 150 : Le coefficient de corrélation entre les deux variables pondérées est estimé à 75.6%.Le coefficient β vaut 1.4. La variable de contrôle ne permet une réduction de variance quin’est que de l’ordre de 2.3 par rapport à l’estimateur pondéré seul. Néanmoins, ce dernierinduisant déjà une réduction de variance de l’ordre de 400, l’estimateur construit à partir desdeux méthodes possède une variance 900 fois plus petite que celle de l’estimateur standard.37
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