Méthodes de Monte Carlo appliquées au pricing d ... - Maths-fi.com

5Méthodes de Monte Carlo appliquées à le gestiondes risques5.1 Le problème de l’agrégation de (et dans) la valeur en risqueConsidérons deux variables aléatoires X 1 et X 2 représentant les pertes de deux marchés. SoientF 1 et F 2 les distributions de X 1 et X 2 . Les valeurs en risque au seuil de confiance α sont alorsetV aR (X 1 ; α) = F −11 (α)V aR (X 2 ; α) = F −12 (α)Nous cherchons à agréger ces deux valeurs en risque, c’est-à-dire à déterminer la VaR de X 1 + X 2 :V aR (X 1 + X 2 ; α) := inf {x : P {X 1 + X 2 ≤ x} ≥ α}Soit F 1+2 la distribution de X 1 + X 2 . Nous avons∫∫F 1+2 (x) =x 1+x 2≤xdC (F 1 (x 1 ) , F 2 (x 2 ))La valeur en risque V aR (X 1 + X 2 ; α) dépend des distributions marginales, mais aussi de la copuleC.Agrégation sous l’hypothèse C = C +Nous considérons le cas C = C + et nous supposons que F 1 et F 2 sont continues. Nous avonsX 2 = F −12 (F 1 (X 1 )). Soit la fonction ϖ définie par x ↦→ x + F −12 (F 1 (x)). Nous avonsα = P {X 1 + X 2 ≤ V aR (X 1 + X 2 ; α)}= E [1 {ϖ (X 1 ) ≤ V ar (X 1 + X 2 ; α)}]= F 1(ϖ −1 (V ar (X 1 + X 2 ; α)) ) (5.1)