Méthodes de Monte Carlo appliquées au pricing d ... - Maths-fi.com

2.2. Méthode des transformationsExemple 2.3 – Obtention d’une loi Beta à partir de deux lois Gamma indépendantes –Ce deuxième exemple illustre comment il est possible d’obtenir une loi Beta Be (α, β) (α > 0,β > 0) à partir de deux lois Gamma de paramètres (α, 1) et (β, 1).Rappelons dans un premier temps que la densité d’une loi Gamma Ga(a, b) (a > 0, b > 0) s’écrit :celle d’une loi Be (a, b) (a > 0, b > 0) étant :x a−1 e −xbΓ (a) b a , x ≥ 0,Γ (α + β)Γ (α) Γ (β) xα−1 (1 − x) β−1 , x ∈ [0, 1] .Dès lors, on peut montrer que si X 1 etX 2 sont deux lois Gamma indépendantes Ga(α, 1) Ga(β, 1),Xalors 1X 1+X 2suit une loi Beta Be (α, β). Considérons pour cela la transformation y = x1x 1+x 2etz = x 1 + x 2 , dont la transformation inverse est x 1 = yz et x 2 = (1 − y)z. Le Jacobien de cettetransformation s’écrit : ∣ ∣∣∣∣ ∂x 1 ∂x 1∂y ∂z∂x 2 ∂x 2∂y ∂z∣ = |z|,()Xsi bien que la densité f du couple (Y, Z) = 1X 1+X 2, X 1 + X 2 s’écrit :f (y, z) = (yz)α−1 e −yzΓ (α)((1 − y)z) β−1 e −(1−y)zzΓ (β)= Γ (α + β) yα−1 (1 − y) β−1Γ (α) Γ (β)z α+β−1 e −zΓ (α + β) ,ce qui montre le résultat énoncé.Notons de plus que X 1 + X 2 est indépendanteX 1X 1+X 2et qu’il s’agit d’une loi Gamma Ga(α + β, 1).De façon générale, la somme de N lois Gamma indépendantes Ga(a 1 , b), ..., Ga(a N , b) est unelois Gamma Ga( ∑ a i , b). Cette propriété intéressante permet d’établir les résultats de l’exemplesuivant :Exemple 2.4 – Utilisation de la loi exponentielle –Nous avons vu que si U suit une loi uniforme sur [0, 1], alors −λ ln U suit une loi exponentiellede paramètre λ. En remarquant que la loi exponentielle E (λ) correspond à la loi Ga(1, λ), on obtientles résultats suivants :– Si U 1 , ..., U N sont N lois indépendantes, uniformément réparties sur [0, 1], alorsY = −2N∑ln U i ∼ χ 2 2N = Ga(N, 2).i=1– Si U 1 , ..., U a , ..., U a+b sont a + b lois indépendantes uniformément réparties sur [0, 1], alors∑ ai=1Y =ln U i∑ a+bi=1 ln U ∼ Be(a, b).iL’exemple que nous considérons maintenant présente deux méthodes de simulation différente dela loi t de Student.16