Méthodes de Monte Carlo appliquées au pricing d ... - Maths-fi.com

2.2. Méthode des transformations2.2 Méthode des transformations2.2.1 Inversion de la fonction de répartitionLa simulation par inversion de la fonction de répartition constitue la méthode de simulation laplus directe. Elle repose sur le résultat suivant :Théorème 2.1 Soit F une fonction de répartition définie sur un intervalle [a, b], de fonctioninverseF −1 (u) = inf {z ∈ [a, b] : F (z) ≥ u} .Si U est une variable de loi uniforme sur [0, 1], alors Z = F −1 (U) est distribuée suivant F .Ce résultat découle du fait que pr (Z ≤ z) = pr ( F −1 (U) ≤ z ) = pr (U ≤ F (z)) = F (z).Lorsque l’on dispose de l’inverse de la fonction de répartition sous forme analytique, l’inversion dela fonction de répartition est une méthode de simulation exacte (si l’on dispose d’un vrai générateurde lois uniformes). Nous avons reporté dans le tableau 2.2.1 un certain nombre d’exemples courantsrépondant à ce critère.Distribution densité F −1 forme simplifiéeBetaBe (α, 1) αz α−1 α > 0, 0 ≤ z ≤ 1 u 1 α –BetaBe (1, β) β (1 − z) β−1 β > 0, 0 ≤ z ≤ 1 1 − (1 − u) 1 β1 − u 1 βExponentielle1E (λ)λ e −zλ λ > 0, z ≥ 0 −λ ln (1 − u) −λ ln uLogistique( )eL (α, β)−(z−α)/βuβ > 0, z ∈ R α + β lnβ[1+e −(z−α)/β ] 2 1−u–CauchyC (α, β)βπ[β 2 +(z−α) 2 ]β > 0, z ∈ R α + β tan π (u − 1/2) α + βtan πuParetoαβPa (α, β)αzα > 0, z ≥ β > 0 β (1 − u) −1/α βu −1/αα+1WeibullW (α, β) (α/β α ) z α−1 e −(z/β)α α, β > 0, z ≥ 0 β[− ln(1 − u)] 1/α β[− ln u] 1/αTableau 2.1. Exemples de distributions continues simulables par inversion de la fonction de répartition.Si l’inversion de la fonction de répartition ne peut être réalisée de façon explicite, seule peut êtreutilisée une approximation numérique de la solution de l’équation F (z) = u. Le calcul d’une telleapproximation peut être mené de deux façons différentes :– en utilisant un algorithme qui résout numériquement F (z) = u ;– en utilisant une fonction g approchant F −1 et connue de façon analytique.Résolution numérique de F (z) = uLa résolution numérique de l’équation F (z) = u est réalisée au moyen d’un algorithme. LorsqueF est continue, La solution z ∗ retournée ne peut être qu’approchée : elle dépend de la règle d’arrêtutilisée par l’algorithme mis en œuvre.13