MÃ©thodes de Monte Carlo appliquÃ©es au pricing d ... - Maths-fi.com

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2.5. Simulation par acceptation-rejet– i = k + 1, ..., 2k : p i = ( e λ − 1 − λ ) e −λ(i−k)– i = 2k + 1 : p 2k+1 = e −λkf i (x) = e−x+λ(i−k) −1)e λ −1−λ, (i − k − 1)λ ≤ x ≤ (i − k)λ ;f 2k+1 (x) = e −x+λ(k) , x ≥ λk.Ainsi, si les composantes 1 à k sont tirés, on simule une loi uniforme.Les composantes k +1 à 2k peuvent être simulées par la méthode d’acceptation-rejet présentée dansla section suivante.En ce qui concerne la composante 2k + 1, il convient de remarquer quepr(X > x|X > kλ) = 1 − e −(x−kλ) .Par conséquent, (X − kλ|X > kλ) suit une loi E(1). La simulation suivant f 2k+1 peut donc êtreréalisée en tirant dans la loi {p 1 , ..., p 2k+1 } jusqu’à ce que l’indice J tiré soit inférieur ou égal à 2k.On retourne kIλ + X, X ∼ f J , où I représente le nombre de tirages nécessaires pour que J ≤ 2k.2.5 Simulation par acceptation-rejetLa simulation par acceptation rejet constitue une méthode alternative à la méthode des transformationlorsque l’on ne réussit pas à écrire la loi à simuler comme une transformée de variables.Ce type de méthode nécessite la connaissance de la densité à de la loi à simuler une constantemultiplicative près, et repose sur l’utilisation d’une loi instrumentale que l’on sait déjà simuler.2.5.1 Le cas généralNous commençons par présenter les théorèmes sur lesquelles se fonde la simulation par acceptationrejet.Théorème 2.3 Soit U ∼ U(0, 1) et X une variable aléatoire indépendante de U de densité f surR d .Alors (X, cUf(X)) est uniformément distribué sur A = { (x, v) : x ∈ R d , 0 ≤ v ≤ cf(x) } , c étantune constante positive arbitraire.réciproquement, si (X, V ) est uniformément distribué sur A, alors X est distribué suivant f.Le graphique 2.2 page suivante illustre ce théorème 2.3 dans le cas où X ∼ N (0, 1).Théorème 2.4 Soit X 1 , X 2 , ... une famille de variables aléatoires iid à valeurs dans R d et A ⊂ R d .Si Y = X I où I = min {j : X j ⊂ A}, alors pour tout B mesurable :pr(Y ∈ B) = pr (x 1 ∈ A ∩ B)pr (X 1 ∈ A)En particulier si X 1 et uniformément distribuée sur A 0 ⊃ A alors Y est uniformément distribuéesur A.22
2.5. Simulation par acceptation-rejetGraphique 2.2. Distribution uniforme sur A =Représentation de 1000 couples{}(x, v) : x ∈ R d , 0 ≤ v ≤ e − x22( )X, Ue − X22 avec X ∼ N (0, 1).Pour démontrer ce résultat, il suffit de remarquer que :pr(Y ∈ B) ==∞∑pr (X 1 /∈ A, X i−1 /∈ A, X i ∈ A ∩ B)i=1∞∑(1 − p) i−1 pr (X 1 ∈ A ∩ B) , avec p = pr(X 1 ∈ A)i=1= pr (X 1 ∈ A ∩ B).pL’algorithme général de simulation par acceptation-rejet découle directement des deux théorèmesqui viennent d’être énoncés.Algorithme 2.9 – Méthode d’acceptation-rejet –Soit f la densité de la variable aléatoire que l’on souhaite simuler. On suppose connue une densitég et une constante c telles que : ∀x, f(x) ≤ cg(x).1. Simuler U ∼ U(0, 1) et X ∼ g de façon indépendante.2. si cUg(X) ≤ f(X), retourner X, sinon reprendre l’étape 1.D’après la première partie du théorème 2.3, le couple (X, cg(X)) est uniformément distribué sousla courbe c.g. Le théorème 2.4 montre alors que la variable (X, cg(X)) retournée par l’algorithmeest uniformément distribuée sous la courbe f et par conséquent, compte tenu de la deuxième partiedu théorème 2.3, X est distribuée suivant f.23
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Bibliographie[1] Bouyé, E., V. Dur
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