Méthodes de Monte Carlo appliquées au pricing d ... - Maths-fi.com

1.1. Générateurs congruentiels linéaires1.1 Générateurs congruentiels linéairesDans cette première section, on se propose d’étudier les principales caractéristiques des générateurscongruentiels linéaires. Ce type de générateur produit des suites de nombres pseudo-aléatoiressur [0, 1] à partir de l’algorithme suivant :Algorithme 1.1 – Générateur congruentiel linéaire –Étant donnés deux paramètres entiers A et M,1. Choisir une racine x 02. à l’étape n > 0, construire x n = Ax n−1 [M] et retourner u n = xnMIl apparaît ici clairement que ce type de générateur est périodique, de période P strictementinférieure à M. Si l’on souhaite s’approcher le plus possible d’une distribution continue uniformesur [0, 1], il convient donc de choisir A et M de sorte que la période P soit la plus grande possible.Choix des paramètres A et MDans le cas où M est un nombre premier, le choix de A repose sur le résultat suivant :Théorème 1.1 Si M est un nombre premier, alors la suite x n , n ≥ 0, obtenue à partir de l’algorithme1.1 est de période M − 1 si et seulement si A est une racine primitive de M :A M−1 ≡ 1 [M] et A k−1 ≠ 1 [M] , ∀k < MLe générateur de nombres pseudo-aléatoires rndu(., .) utilisé par le logiciel Gauss exploite cerésultat. Les paramètres M et A prennent les valeurs suivantes :{MG = 2 31 − 1A G = 397204094Dans la mesure où un générateur de nombres pseudo-aléatoires est très fréquemment appelé aucours d’une expérience de Monte Carlo, un autre critère intervenant dans le choix de M est letemps de calcul qu’il induit pour chaque élément de la suite (u n ) produite par l’algorithme 1.1. Lareprésentation interne des nombres sous la forme de séquences binaires conduit à s’intéresser auxparamètres M s’écrivant sous la forme M = 2 β :– la division modulo M consiste alors à mettre à 0 l’ensemble des bits de rang supérieur à β ;– la division par M est réalisée en décalant le bit représentatif de la virgule de β bits vers lagauche.Dans le cas où M est de la forme 2 β , le théorème suivant caractérise les coefficients multiplicatifsA permettant d’obtenir une suite x n , n ≥ 0, de période maximale :Théorème 1.2 Si M = 2 β , β ≥ 3, la période maximale P = 2 β−2 est réalisée si et seulement siA ≡ ±3[8] et x 0 ≡ 1[8].Les deux théorèmes que nous venons d’énoncer dans le cas où M est premier ou de la forme2 β permettent de déterminer les sous-ensembles d’entiers auxquels le paramètre A doit appartenirsi l’on souhaite obtenir un générateur de période la plus grande possible. Cette dernière propriétéassure la production d’une suite de nombres pseudo-aléatoires dont la distribution est proched’une distribution uniforme sur [0, 1]. Néanmoins, si la dimension du problème augmente et quel’on souhaite approcher une distribution uniforme sur [0, 1] k , k ≥ 2, rien n’assure que l’utilisationd’un coefficient multiplicatif A déterminé sur la seule base du théorème 1.1 dans le cas où M est2