Méthodes de Monte Carlo appliquées au pricing d ... - Maths-fi.com

3.2. Variables de contrôleSi l’on note Y t = max (G t − K, 0), la valeur de I Y = Ee −rt Y t est connue de façon analytique. On lacalcule en appliquant la formule de Black-Scholes à G t , G t pouvant s’écrire sous la forme suivante :( )où ˜Btt≥0G t = G 0 e (˜r− 1 2 ˜σ2 )t+˜σ ˜B test un mouvement brownien standard sur R, et{˜σ = 1 d√Σ′ ΩΣ˜r = r + 1 2 ˜σ2 − 12d∑ di=1 σ2 iDès lors,I Y = G 0 e (˜r−r)t Φ (d 1 ) − Ke −rt Φ (d 2 )avec {Applications numériques.d 1 = ln( G 0K )+(˜r+ 1 2 ˜σ2 )t˜σ √ td 2 = d 1 − ˜σ √ tLe jeu de paramètres retenus pour les applications numériques est le suivant : t = 1, r = 0,d = 10, S0 = {80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125}, Σ = {0.15, 0.16, 0.17, 0.18, 0.19, 0.20,0.21, 0.22, 0.23, 0.24}, ρ ii = 1, ρ ij = 0.5 si i ≠ j. On fait varier le prix d’exercice K afin d’étudierl’efficacité de la méthode selon que l’on se situe à la monnaie, dans la monnaie ou hors la monnaie :{() }110∑K ∈ S0 i = 102.5 , 50, 150 .10i=1Les graphiques 3.1 page suivante, 3.2 page suivante et 3.3 page suivante illustrent le comportementdes estimateurs contrôlés pour chacune de ces trois valeurs.K = 102.5 : Le coefficient de corrélation entre les variables X t et Y t est estimé à 99.5%. La valeurinduite pour le coefficient β est de 1.12.La variance de l’estimateur contrôlé c Z est ici 100 fois plus petite que la variance de l’estimateurstandard c X .K = 50 : Le coefficient de corrélation entre les variables X t et Y t est estimé à 99.86%. La valeurinduite pour le coefficient β est de 1.042.La variance de l’estimateur contrôlé c Z est 360 fois plus petite que la variance de l’estimateurstandard c X .K = 150 : Le coefficient de corrélation entre les variables X t et Y t est ici beaucoup plus faible quedans les cas précédents : il est estimé à 95%. La valeur induite pour le coefficient β est de1.4.La variance de l’estimateur contrôlé c Z est 10 fois plus petite que la variance de l’estimateurstandard c X . La méthode demeure donc intéressante.33