Méthodes de Monte Carlo appliquées au pricing d ... - Maths-fi.com

3.3. Échantillonnage d’importanceoù (W 1,t ) et (W 2,t ) sont deux mouvements browniens standards unidimensionnels tels que〈dW 1,t , dW 2,t 〉 = ρdt.Notons T la maturité du call européen. La méthode de Monte Carlo standard consiste à simulerN trajectoires du processus (X t ) entre 0 et T en utilisant un schéma d’Euler de la forme :(S ti+1 = S ti 1 + r∆t + √ √ )V ti ∆tZ1i+1V ti+1 = V ti + κ (θ − V ti ) ∆t + γ √ V ti√∆t(ρZ 1 i+1 + √ 1 − ρ 2 Z 2 i+1)où ∆t = t i+1 − t i représente le pas de discrétisation et ( Zi 1, ) Z2 i , i ∈ {1, ..., m}, sont m =T∆t loisiid N (0, I 2 ).Remarque 3.1 Il est possible de rendre l’écart entre le processus (X s ) t≤s≤Tet le processus discrétiséaussi petit qu’on le souhaite. Il suffit pour cela de choisir un pas de discrétisation ∆tsuffisamment fin (cf [17, Kloeden et Platen]).Si l’on note ST 1 ,...,SN T les N simulations du prix du sous-jacent ainsi obtenues, l’estimateur deMonte Carlo standard c 0 s’écritc 0 = 1 N∑e −rT (ST i − K) +Ni=1K étant le prix d’exercice de l’option considérée.L’accélération de la convergence est réalisée au moyen d’un changement de dérive φ calculée àpartir de la formule (3.13) en approchant le paramètre d’intérêt I g et son gradient à partir desformules classiques du prix et des grecs d’un call européen dans le modèle de Black-Scholes 3 .Le processus (X t ) = (S t , V t ) est alors solution, sous la nouvelle probabilité, de l’équation différentiellestochastiquedX t = [b(t, X t ) − Σ(t, X t )φ t ] dt + Σ(t, X t )dB tavecΣ(t, X t ) =( √ )X1,t X2,t 0ργ √ √X 2,t 1 − ρ2 γ √ X 2,tet b(t, X t ) =t i( )rX1,t.κ (θ − X 2,t )La simulation du processus (X t ) sous la nouvelle probabilité s’effectue à nouveau en utilisant unschéma d’Euler. De même, le calcul du poids L (φ)Tà associer à chacune des simulations est réaliséen approchant ∫ T0 φ sdBs et ∫ T0 |φ s| 2 ds.Notons à nouveau t 0 = 0, t 1 ,...., t m = T les différents instants intervenant dans le schéma dediscrétisation. L (φ)Test obtenu en remarquant que[∫ ti+1L (φ)t i+1= exp φ s dBs − 1 ∫ ti+1]|φ s | 2 ds L (φ)tt i2iL (φ)0 = 1.3 Dans le modèle Black-Scholes, le prix, le delta et le vega d’un call européen de maturité T et de strike K,valent à la date t, en fonction du prix s et de la volatilité σ :CALL (t, s, K, T, σ) = sΦ (d 1 ) − Ke −r(T −t) Φ ( d 1 − σ √ T − t )∆ CALL (t, s, T, K, σ) = Φ (d 1 )υ CALL (t, s, T, K, σ) = s √ T − tΦ ′ (d 1 )()avec d 1 = ln sKe −r(T −t) + 1 2 σ2 (T −t)σ √ .T −t41