Méthodes de Monte Carlo appliquées au pricing d ... - Maths-fi.com

3.4. StratificationOn peut donc approcher L (φ)Ten considérant le processus discrétisé suivant :[ √∆tL (φ)t i+1= exp 〈φti , Z i+1 〉 − ∆t ]2 |φ t i| 2 L (φ)t iL (φ)0 = 1.où ( Zi 1, ) Z2 i , i ∈ {1, ..., m}, sont les m lois iid N (0, I2 ) intervenant dans la simulation de X t1 ,...,X tm .Si l’on note S (φ)1 (T ),..., S (φ)N(T ) les N prix du sous-jacent ainsi simulés, et L(φ) 1 (T ),..., L(φ)N (T )les poids associés, l’estimateur avec changement de dérive s’écritc (φ) = 1 NN∑i=1e −rT (S (φ)i (T ) − K) + L (φ)i (T ).Le graphique 3.7 illustre les performances de cette méthode dans le cas d’un call à la monnaie.Graphique 3.7. Prix d’un call européen dans le modèle de Heston : S 0 = 100, V 0 = 0.3 2 , K = 100, T = 1.Les paramètres du modèle sont les suivants : r = 5%, κ = 2, θ = 0.2 2 , γ = 0.2 et ρ = 0.5. Le pasde discrétisation est ∆t = 1365 .3.4 StratificationSupposons maintenant que l’on puisse découper l’espace S des valeurs de Xmesurables Str i , appelés strates, pour lesquels on sait calculeren k ensemblesµ (Str i ) = Q (X ∈ Str i ) = Q (Str (X) = Str i )où Str (X) représente la variable aléatoire indicatrice de la strate dans laquelle se situe X. Si deplus, on est capable de générer les variables aléatoires conditionnelles X | (Str (X) = Str i ) , de loisµ i (dx) = 1 Str i(x)µ (dx) , i ∈ {1, . . . , k} ,µ (Str i )42