Méthodes de Monte Carlo appliquées au pricing d ... - Maths-fi.com

3.2. Variables de contrôleApplication : le cas d’une option sur un panier d’actionsLe problème que l’on se pose est l’évaluation d’une option d’achat européenne définie à partir dela moyenne arithmétique d’un panier d’actions. Dans un cadre d’analyse Black-Scholes, le prixd’un tel produit ne s’exprime pas de façon analytique. L’estimation du prix de ce type d’optionpar simulation est très rapide si on utilise comme variable de contrôle le même produit, mais définicette fois-ci à partir de la moyenne géométrique des prix des actions.Cadre d’analyse.Soit (B t ) t≥0un mouvement brownien standard sur R d , Σ = (σ i ) 1≤i≤dun vecteur de coordonnéesstrictement positives et Ω = (ρ ij ) 1≤i,j≤dune matrice de corrélation. On note Γ la matrice associéeà Ω résultant de la décomposition de Cholesky 1 de cette dernière.On définit un processus aléatoire sur R d , ( )St 1 , . . . , Std , par l’équation différentielle stochastiquet≥0suivante :dSt i = rdt + σ i dWt i , i ∈ {1, . . . , d}où W t = ΓB t , t ≥ 0, de telle sorte que∀i, j ∈ {1, . . . , N} , 〈 W. i , W.j 〉= ρ t ijt.Posons A t = 1 d∑ Sit , t ≥ 0, et définissons le processus (X t ) t≥0par :X t = max (A t − K, 0)Le paramètre d’intérêt que l’on souhaite calculer estEstimateur standard.I X = Ee −rt X t .Un premier estimateur sans biais de ce paramètre, noté c X , peut être obtenu par une méthodede Monte Carlo standard, en simulant N vecteurs ( )( )Bt 1 , . . . , Bt d et en calculant les N valeursx1t , . . . , x N t prises par la variable aléatoire Xt . On pose alors :La variance de cet estimateur estc X = e−rtNN∑i=1x i tvar (c X ) = e−2rtN var (X t)L’objectif du paragraphe suivant est de construire un nouvel estimateur de I X dont la variance estinférieure à celle de c X pour un nombre de simulations N fixé.Utilisation d’une variable de contrôle.On définit une variable de contrôle pour l’estimation de I X en considérant, dans la définition de lafonction X t à intégrer, non plus la moyenne arithmétique A t des S i t, mais la moyenne géométriqueG t :G t = d √ √√√ d∏i=1S i t1 Γ est l’unique matrice triangulaire inférieure telle que ΓΓ ′ = Ω.32