Méthodes de Monte Carlo appliquées au pricing d ... - Maths-fi.com

4.3. La méthode des distributions conditionnellescopule Gumbel (ou Gumbel-Houggaard) a pour expression :( [C (u 1 , u 2 ; θ) = exp − (− ln u 1 ) θ + (− ln u 2 ) θ] ) 1/θ.La distribution conditionnelle s’écrit donc :C 2|1 (u 1 , u 2 ) = 1 ( ) ] 1θ θln u2[1 −1 (+exp −[(− ln u 1 ) θ + (− ln u 2 ) θ] ) 1/θu 1 ln u 1Code GAUSS 4.6 – Simulation de la copule Gumbel à partir de la distribution bivariée –/***> rndCopulaGumbel***/proc (2) = rndCopulaGumbel(theta,ns);_CopulaParameters = theta;retp( rndCopula2(&_rndCopulaGumbel,0,ns) );endp;proc _rndCopulaGumbel(u1,u2);retp( _cdfCopulaGumbel(u1,u2,_CopulaParameters) );endp;proc _cdfCopulaGumbel(u1,u2,theta);retp( exp(-((-ln(u1))^theta+(-ln(u2))^theta)^(1./theta)) );endp;Code GAUSS 4.7 – Simulation de la copule Gumbel à partir de la distribution conditionnelle –/***> rndCopulaGumbel***/proc (2) = rndCopulaGumbel(theta,ns);_CopulaParameters = theta;retp( rndCopula2(0,&_rndCopulaGumbel,ns) );endp;proc _rndCopulaGumbel(u1,u2);local theta,u1tilde,u2tilde,beta,w;theta = _CopulaParameters;u1tilde = -ln(u1); u2tilde = -ln(u2);w = u1tilde^theta + u2tilde^theta;beta = 1./theta;retp( exp(-(w^beta)) .* ( 1+ (u2tilde./u1tilde)^theta )^(-1+beta) ./ u1 );endp;Bien sûr, la seconde version est plus stable, puisqu’elle ne fait pas appel à une dérivation numérique.Cependant, les deux procédures donnent pratiquement les mêmes nombres aléatoires,puisque la différence maximale sur les 1024 premiers nombres du générateur Sobol est 7.57 × 10 −6 .54