Méthodes de Monte Carlo appliquées au pricing d ... - Maths-fi.com

3.5. Variables antithétiquesoù Φ représente la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. On tire alors le vecteuraléatoire X | X ∈ Str i à partir de la décomposition :X | X ∈ Str iloi= Φ −1 (u i ) s + Yoù u i suit une loi uniforme sur [ i−1k ; i k]indépendante de Y.Le problème qui se pose alors est de déterminer une direction s permettant de réduire significativementla variance. Pour plus de détail sur la façon de déterminer s, le lecteur pourra se référerà [13, Glasserman et al., 1998].3.5 Variables antithétiquesJusqu’à présent, nous avons présenté les méthodes de Monte Carlo comme des méthodes nécessitantla production d’échantillons de variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées.Néanmoins, il peut s’avérer préférable de construire des échantillons de variables corrélées dans lamesure où cela peut conduire à une réduction de la variance des estimateurs correspondants.Plus précisément, considérons un premier échantillon de taille 2N, (x 1 , . . . , x 2N ) , de variablesaléatoires indépendantes distribuées suivant la loi µ. Cet échantillon permet d’estimer le paramètred’intérêt I g = ∫ g (x) µ (dx) à partir de la méthode de Monte Carlo standard, en utilisant laSstatistique c g . Si l’on dispose par ailleurs d’un second échantillon de taille N, (y 1 , . . . y N ) , devariables aléatoires iid suivant la loi µ, on peut construire un nouvel estimateur c ant de I g enposant :c ant = 1 N∑g (x i ) + g (y i ) . (3.15)2Ni=1Si les variables g (X i ) et g (Y i ) sont corrélées négativement, cet estimateur est plus efficace quel’estimateur de Monte Carlo standard fondé sur un échantillon iid de taille 2N.Rubinstein [22] propose la méthode suivante pour la simulation des échantillons (x i ) 1≤i≤Net(y i ) 1≤i≤Ndans le cas où g ◦ µ − est monotone (µ − représente l’inverse de la fonction de répartitionde la loi µ) : x i est généré à partir de la réalisation d’une loi uniforme u i en posantx i = µ − (u i ) ,y i étant généré de la même façon à partir de 1 − u i . Cette méthode est relativement restrictivedans la mesure où d’une part, il faut que la condition de monotonie portant sur g ◦ µ − soit vérifiée,et d’autre part, il faut disposer de µ − de façon analytique, ce qui est rarement le cas.Une méthode plus aisément implémentable a été proposée par Geweke [12] dans le cas où laloi µ est symétrique autour d’une valeur m. Cette méthode consiste à simuler un échantillon deN réalisations (x 1 , . . . , x N ) de façon indépendante suivant la loi µ et à poser y i = 2m − x i , i ∈{1, . . . , N}. Une telle méthode est facilement applicable en finance dans la mesure où les variablesaléatoires simulées sont la plupart du temps construites à partir de lois normales.44