Méthodes de Monte Carlo appliquées au pricing d ... - Maths-fi.com

2.5. Simulation par acceptation-rejetde connaître deux fonctions h 1 et h 2 faciles à évaluer et encadrant f : h 1 ≤ f ≤ h 2 . L’algorithmeque l’on met en place est alors le suivant :Algorithme 2.11 Étant données une loi instrumentale g, une constante c telle que f ≤ cg, etdeux fonctions h 1 et h 2 encadrant f,1. Simuler U ∼ U(0, 1) et X ∼ g de façon indépendante, et pose W = cg(X).2. Si W ≤ h 1 (X), accepter X ;Sinon, si W ≤ h 2 (X) alors – si W ≤ f(X), accepter X ;– sinon retourner en 1.2.5.3 Le cas des densité log-concaves : La méthode des cordesGraphique 2.5. Enveloppe supérieure du log d’une densité log-concaveSi la densité f de la loi que l’on l’on souhaite simuler est log-concave, il est possible de définirune fonction majorante de log f affine par morceau à partir des cordes de log f. Notons l N unetelle fonction et S N l’ensemble des points x 0 , x 1 , ..., x N , x N+1 tels que l N soit affine sur [x i , x i+1 ] ,avec x 0 = −∞ et x N+1 = +∞. Soit alors {(λ i , µ i ) , 0 ≤ i ≤ N} l’ensemble des couples tels quePosonsl N (x) = µ i x + λ i si x i ≤ x ≤ x i+1N−1∑ − eϖ = eλ0+µ0x1+ e λi eµixi+1 µixi− eλ N +µ N x Nµ 0 µ i µ Ni=1La fonction de répartition L N associée à l N s’écrit, en fonction des paramètres que l’on vientd’introduire :L N (x) = p k + e λ eµ kx − e µ kx kkϖµ ksi x k < x ≤ x k+1 , 0 ≤ k ≤ Noùk−1∑ − ep k = e λi eµixi+1 µixi.ϖµ ii=026