Méthodes de Monte Carlo appliquées au pricing d ... - Maths-fi.com

3.3. Échantillonnage d’importanceLa simulation de trajectoires suivant la loi du processus (X s ) t≤s≤Tsous la probabilité Q (φ) peutêtre réalisée en remarquant que (X s ) t≤s≤T, solution de l’équation différentielle stochastique (3.9)sous Q, est la solution, sous Q (φ) , de l’équation différentielle stochastique suivante :dX s = [b (s, X s ) − σ (s, X s ) φ s ] dt + σ (s, X s ) dB s . (3.12)Le changement de probabilité pour la construction d’un nouvel estimateur c (φ)is (t, x) de I g (t, x)conduit donc à la modification du processus de dérive intervenant dans la caractérisation du processus(X t ) . L’idée est ici de modifier l’allure des trajectoires par le choix d’un processus φ judicieux,afin de prendre en compte les spécificités de la fonction g à intégrer.Processus optimal φ ∗ .Si l’on suppose que la fonction g ne dépend que de la valeur terminale X T du processus sousjacent,il est alors possible d’exhiber un changement de dérive optimal, conduisant à une variancenulle. Le paramètre d’intérêt I g (t, x) se réécrit, sous la probabilité Q (φ) induite par le processusφ :[ ]I g (t, x) = E Q(φ) g (X T ) L (φ)t,T | X t = x .On peut alors montrer, en appliquant le calcul d’Itô, que la variable g (X T ) L (φ)t,T s’écrit :∫ Tg (X T ) L (φ)t,T = I g (t, x) +tL (φ) [t,s σ (Xs ) ′ ∇ x I g (s, X s ) + φ s I g (s, X s ) ] dB soù ∇ x I g représente le gradient de la fonction I g par rapport aux coordonnées de X. Il apparaîtdonc que la variance de g (X T ) L (φ)t,Tsera nulle dès queφ s = φ ∗ 1s = −I g (s, X s ) σ (X s) ′ ∇ x I g (s, X s ) . (3.13)La fonction I g étant inconnue, il est impossible de mettre en œuvre un changement de dériveutilisant φ ∗ . Néanmoins, l’utilisation d’un processus φ construit à partir de la formule (3.13), enremplaçant I g par une fonction qui l’approche, peut permettre une réduction significative de lavariance. Notons de plus que si la formule (3.13) a été établie pour des fonctions g ne dépendantque de X T , on peut supposer que son utilisation, dans le cadre plus général de fonctions dépendantde tout ou partie de la trajectoire, induira également une réduction de la variance.Application : le modèle de Black et Scholes comme approximation des processus àvolatilité stochastiqueOn remplace la fonction I g (t, x) dans la formule (3.13) par la fonction I g (t, x) que l’on obtientlorsque l’on spécifie un nouveau modèle sous-jacent pour le processus (X s ) “approximant” le modèleinitial, et dans lequel I g (t, x) s’écrit sous la forme d’une formule fermée. Le modèle de Black etScholes constitue un candidat naturel pour appliquer ce type de méthode.Considérons le cas du pricing d’un call européen standard dans le cadre du modèle de Heston[14]. Il s’agit d’un modèle à volatilité stochastique : le processus sous-jacent (X t ) = (S t , V t ) est àvaleurs dans R 2 , solution de l’équation différentielle stochastiquedS tS t= rdt + √ V t dW 1,tdV t = κ (θ − V t ) dt + γ √ V t dW 2,t40