Méthodes de Monte Carlo appliquées au pricing d ... - Maths-fi.com

2.2. Méthode des transformationsLe choix de la règle d’arrêt dépend bien entendu de la distribution que l’on souhaite simuler. Atitre d’exemple, on peut considérer le cas d’un algorithme qui retourne la valeur z N calculée à laN ime itération si |z N − z N−1 | < δ, avec δ petit. Si la valeur z recherchée est très grande une tellerègle s’avère inadaptée : on est ici limité par la précision de l’ordinateur. On peut alors envisagerune solution alternative prenant l’une des formes suivantes :ou bien|z N − z N−1 | < δ |z N ||F (z N ) − F (z N−1 )| < ɛ.Notons qu’il n’existe pas de règle d’arrêt universelle : celle-ci doit être étudiée au cas par cas. Lestrois paragraphes suivants présentes trois algorithmes classiques permettant de résoudre F (z) = u.Algorithme 2.1 – Algorithme de dichotomie –Déterminer un intervalle [a, b] contenant la solution : F (a) ≤ u ≤ F (b).1. calculer z = a+b22. si F (z) ≤ u alors a ← z, sinon b ← z3. si b − a < δ retourner z, sinon retourner en 1.Algorithme 2.2 – Algorithme de la sécante –Déterminer un intervalle [a, b] contenant la solution.1. calculer z = a + (b − a)u−F (a)F (b)−F (a)2. si F (z) ≤ u alors a ← z, sinon b ← z3. sib − a < δ retourner z, sinon retourner en 1.Algorithme 2.3 – Algorithme de Newton-Raphson –Initialiser z1. z ← z − F (z)−Uf(z)où f représente la densité associée à la distribution F .2. Si la condition d’arrêt est remplie, retourner z, sinon répéter l’étape 1Parmi ces trois algorithmes, seul l’algorithme de dichotomie converge dans tous les cas. Si l’équationF (z) = u possède une unique solution, alors l’algorithme de la sécante converge également.En ce qui concerne l’algorithme de Newton-Raphson, celui-ci converge pour les distributions Fconcaves ou convexes. Dans le cas (fréquent) où la densité f est unimodale de mode m, alors Fest convexe sur ]−∞, m] et concave sur [m, ∞[. L’algorithme de Newton-Raphson peut donc êtreutilisé en prenant m comme valeur initiale.Notons enfin que si l’algorithme de dichotomie est le plus robuste, les méthodes des sécantes etde Newton-Raphson sont plus rapide. Le lecteur pourra se référer à [20, Ostrowski] pour plus dedétails.Approximation de F −1Une méthode alternative à la résolution numérique de F (z) = u au moyen d’un algorithmeconsiste à trouver une fonction g approchant F −1 et qui soit connue de façon explicite. L’exemplesuivant illustre cette méthode dans le cas de la loi normale.Exemple 2.1 – Simulation d’une loi normale N (0, 1) (Hasting, 1955) –L’inverse Φ −1 de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite n’est pas connue defaçon analytique. La fonction g suivante constitue une bonne approximation de Φ −1 permettant la14