thesis

4.2 Généralités sur les corrélations 109
Le terme rr ′ correspond à la corrélation “de base” obtenue entre deux processus
indépendants. La fonction de cross-covariance de deux processus indépendants
est donc 0, tandis qu’elle est égale à rδ(τ) pour deux réalisations identiques d’un
processus de Poisson.
Nous définissons enfin la corrélation totale C entre les deux trains :
C = 1
√ rr ′
�
R
CCVF(τ)dτ.
Cette quantité vaut 0 pour deux trains indépendants, et 1 pour deux processus
de Poisson identiques.
Expérimentalement, la mesure de la corrélation entre deux trains s’effectue en
calculant numériquement le cross-corrélogramme, qui fournit une estimation
de la fonction de cross-corrélation pour τ ∈ [−T, T ] (fenêtre temporelle de l’histogramme).
L’estimation de la fréquence moyenne de décharge de chaque train
permet d’obtenir la fonction de cross-covariance (cela revient à soustraire la baseline
de l’histogramme). L’histogramme a souvent une forme bi-exponentielle,
et l’on peut alors paramétrer la fonction de cross-covariance de la manière suivante
(Moreno-Bote et al. 2008) :
CCVF(τ) = C√rr ′
�
× exp −
2τc
|τ|
�
.
τc
Les deux paramètres C et τc quantifient la force (corrélation totale) et l’échelle
de temps de la corrélation entre les deux trains.
La hauteur du pic de l’histogramme est c0 = CCVF(0), soit le surplus de
probabilité que les deux trains émettent un potentiel d’action au même instant,
comparé au cas où les trains seraient indépendants. Dans le cas idéal de corrélations
instantanées, on aurait c0 = ∞ et τc = 0, la fonction de cross-covariance
étant alors une fonction de Dirac en 0.
Il faut donc retenir que la corrélation entre deux trains de potentiels d’action
s’exprime à l’aide de deux paramètres fondamentaux, la force C et l’échelle
temporelle τc.
Corrélation du nombre de potentiels d’action dans une fenêtre temporelle
Une autre mesure de corrélation couramment utilisée est le coefficient de corrélation
de Pearson entre le nombre de potentiels d’action du premier train dans
une fenêtre donnée, et celui du second train dans la même fenêtre. On considère
que ce coefficient correspond au coefficient de corrélation totale C défini dans le
paragraphe précédent (sous l’hypothèse que τc est petit devant la taille de la fenêtre
temporelle). Si N1 et N2 correspondent au nombre de potentiels d’action
dans une fenêtre donnée pour les deux trains, alors :
C =
Cov (N1, N2)
�
Var (N1) Var (N2) .