thesis

56 Modélisation impulsionnelle de l’activité neuronale
On obtient :
Isynapse(t) = w �
où ∗ est le produit de convolution.
Le courant postsynaptique total
k
� ∞
α(t − tk) = w s(u)α(t − u)du = w s ∗ α(t)
0
Nous avons vu les différentes expressions pour les courants postsynaptiques
générés au niveau d’une seule synapse. Au niveau du soma, le courant postsynaptique
total est la somme des courants postsynaptiques pour toutes les
synapses du neurone :
Itotal(t) = �
Isynapse(t).
synapse
Nous pouvons préciser cette expression dans l’approximation des courants postsynaptiques.
En indexant les synapses par i ∈ {1, . . . , N} où N est le nombre de
synapses, et en notant wi le poids synaptique de la synapse i et (t i k)k∈N le train
de potentiels d’action correspondant, nous obtenons :
N� ∞�
Itotal(t) = wi α(t − t
i=1 k=1
i k).
Cette formule donne le courant postsynaptique total au niveau du soma en fonction
des entrées synaptiques. Il s’agit la plupart du temps d’un processus stochastique
(lorsque les trains de potentiels d’action sont des processus ponctuels)
dont on souhaite obtenir les propriétés statistiques. Cela a une grande importance
puisque le courant postsynaptique total détermine de quelle manière le neurone
intègre ses entrées. Il est possible dans certains cas de calculer explicitement les
moments du premier et du second ordre de ce processus, ou de l’approcher par un
processus de diffusion.
Les formules de Campbell
Lorsque les trains de potentiels d’action sont modélisés par des processus de
Poisson homogènes indépendants de paramètres λi, il est possible de calculer les
moments du premier et du second ordre du courant postsynaptique total. Les
formules de Campbell (Campbell 1909) donnent en effet :
L’approximation de diffusion
E [Itotal(t)] = �
i
Var (Itotal(t)) = �
i
λiwi�α�1,
λiw 2 i �α� 2 2.
Il est aussi possible dans certains cas d’approcher le courant postsynaptique
total par un processus de diffusion. Cela se produit lorsque le nombre de synapses