thesis

2.5 Fonctions de transfert des modèles impulsionnels 69
diffusion donne lieu au processus d’Ornstein-Uhlenbeck, qui vérifie l’équation de
Langevin :
�
µ − V (t) 2
dV (t) = dt + σ dW (t).
τ
τ
où :
µ = τ(weλe − wiλi)
σ 2 =
τ 2
2 (w2 eλe + w 2 i λi).
Dans cette approximation, la formule de Siegert donne la fréquence de décharge
moyenne (Siegert 1951, Ricciardi et Smith 1977) :
� � � �
τ π θ
2 (u − µ)
r = exp
σ 2 0 2σ2 � � �
u − µ
· 1 + erf
σ √ �� �−1 du .
2
La distribution stationnaire est (Brunel et Hakim 1999) :
p(v) = rτ
σ exp
�
2 (v − µ)
2σ2 � � �
θ
2 (u − µ)
· exp
max (0,v) 2σ2 �
du.
Intègre-et-tire à conductances
Le cas du modèle intègre-et-tire à conductances est plus difficile mais des expressions
existent (Burkitt 2001, Richardson 2004, Richardson et Gerstner 2005).
Mentionnons une approximation couramment réalisée, qui permet de remplacer
un modèle intègre-et-tire à conductances par un modèle à courants (Richardson
et Gerstner 2005). On part de l’équation d’un intègre-et-tire à conductances :
C dV
dt = −gl(V − El) − ge(t)(V − Ee) − gi(t)(V − Ei)
où gl est la conductance totale, ge(t) et gi(t) sont les conductances excitatrices et
inhibitrices, respectivement. On pose gtot = 1 + 〈ge〉 + 〈gi〉 la conductance totale
moyenne, et τeff = τ/gtot la constante de temps membranaire effective, et V0 le
potentiel de membrane moyen :
V0 = El + 〈ge〉Ee + 〈gi〉Ei
.
1 + 〈ge〉 + 〈gi〉
On a alors l’équation approchée suivante :
dV
τeff
dt = −(V − El) − 1
(ge(t)(V0 − Ee) + gi(t)(V0 − Ei)) .
gtot