Jegyzet kezdemény (BMEGEÁTMO10 ... - BME Áramlástan Tanszék

c○Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás
6. FEJEZET. A TURBULENCIA LÉPTÉKEI 32
A nagy léptékek és Kolmogorov léptéket aránya is számolható, ha figyelembe
vesszük, hogy ε ∼ u 3 0/l0.
η/l0 ∼ Re −3/4
uη/u0 ∼ Re −1/4
τη/τ0 ∼ Re −1/2
Vázlat verzió
Saját használatra
(6.6)
(6.7)
(6.8)
Látható, hogy η/l0 csökken a Reynolds szám növelésével, tehát nagy Reynolds
szám esetén van egy olyan l tartomány, hogy l0 ≫ l ≫ η. Feltehető, hogy ebben a
tartományban olyan nagy a Reynolds szám (lu(l)/ν), hogy a viszkozitásnak nincs
szerepe. Ez alapján kimondhatjuk a harmadik hipotézist.
Hipotézis (Kolmogorov második hasonlósági hipotézise). Minden turbulens áramlásban
megfelelően magas Reynolds szám esetén az l léptékű mozgások statisztikáit
függetlenül ν-től egyedül ε határozza meg, amennyiben l az l0 ≫ l ≫ η
tartományba esik.
Érdemes bevezetni egy lDI hosszat, oly módon, hogy az előző hipotézist a l0 >
> l > lDI módon írhassuk. Ez a skála két részre bontja az univerzális egyensúlyi
tartományt (l < lEI), a tehetetlenségi tartományra (lEI > l > lDI) és a disszipációs
tartományra (l < lDI). A viszkozitásnak csak disszipációs tartományban van
szerepe, itt játszódik le a disszipáció teljes egészében.
A KÖVETKEZŐ ábrán a különböző skálák és tartományok láthatóak. Az energia
fő tömege a 1
6l0 < l < 6l0 tartományban van, ezt energiát tartalmazó tartománynak
nevezzük. A betűk jelentése a következő I= inercia, E= energia, D=
disszipációs, a hosszléptékek nevei a két oldal alapján vannak definiálva.
Pusztán ε használatával nem lehet hossz-, sebesség- és időléptéket definiálni,
de egy l hosszléptékhez meg lehet határozni ε és l segítségével sebesség és
időléptéket:
u(l) = (εl) 1/3 = uη(l/η) 1/3 ∼ u0(l/l0) 1/3
τ(l) = (l 2 /ε) 1/3 = τη(l/η) 2/3 ∼ τ0(l/l0) 2/3
(6.9)
(6.10)
Ennek következmény, hogy a tehetetlenségi tartományban a sebesség és idő
léptékek a hosszléptékkel egyszerre csökkennek.
Az energia kaszkádban lényeges szerepe van a T (l) energia áramnak, amely a
l-nél nagyobb skálákról az l-nél kisebb skálája szállítja a mozgási energiát. T (l)
u(l) 2 /τ(l)-el skálázható. Mivel
u(l) 2 /τ(l) = ε (6.11)
T (l) is l-től független és ε-al megegyező. Az energia ráta minden skálán azonos:
TEI ≡ T (lEI) = T (l) = TDI ≡ T (lDI) = ε (6.12)