Jegyzet kezdemény (BMEGEÁTMO10 ... - BME Áramlástan Tanszék

c○Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás
1. FEJEZET. BEVEZETÉS 4
1.2.1. A Navier-Stokes egyenlet példája
A kontinuitás egyenletet a következő alakban tanultuk:
ha ρ = konst., akkor
∂ρ
∂t
A mozgás egyenlet x komponense:
∂vx
∂t
+ vx
∂vx
∂x
+ vy
∂vx
∂y
+ vz
+ div(ρv) = 0 (1.1)
divv = 0 (1.2)
∂vx ∂p
= −1 + ν
∂z ρ ∂x
� 2 ∂ vx
∂x2 + ∂2vx ∂y2 + ∂2vx ∂z2 Vezessük be a következő egyszerűsítő jelöléseket a parciális deriváltakra:
Vázlat verzió
Saját használatra
∂t
∂i
def
=
∂
∂t
def
=
∂
∂xi
�
(1.3)
(1.4)
(1.5)
Továbbá vezessük be az Einstein-féle összegzési konvenciót, miszerint ha két azonos
index szerepel egy szorzatban akkor arra az indexre a tér dimenzióinak megfelelő
számban összegezni kell, például:
def
aibi =
3�
i=1
aibi
(1.6)
Ezen szabályok együttes alkalmazásával a kontinuitás egyenlet rendkívül egyszerűen
írható (a sebességek jelölésénél pedig, ahogy korábban említettük áttérünk
az ui jelölésre):
∂iui = 0 (1.7)
A Navier-Stokes egyenletek még nagyobb mértékben egyszerűsödnek, mivel
mindhárom komponens együtt írható:
∂tui + uj∂jui = − 1
ρ ∂ip + ν∂j∂jui
(1.8)
Az elkövetkező órákon meg fogjuk látni, hogy ezen egyszerűsítő jelölések még
fontosabbá válnak, mivel jelentősen bonyolultabb, hosszabb egyenleteket fogunk
levezetni, elemezni.