Jegyzet kezdemény (BMEGEÁTMO10 ... - BME Áramlástan Tanszék

c○Copyright 2010 - Lohász Máté Márton, Régert Tamás
13. FEJEZET. A NAGY ÖRVÉNY SZIMULÁCIÓ 94
Dinamikus Smagorinsky modell
Ha feltételezzük, hogy mindkét léptékű SGS feszültséget a Smagorinsky modellel
határozzuk meg, az a következőképpen néz ki:
τ d ij
T d
ij
def
= τij − 1
3 τkkδij = −2Cs∆ 2 | 〈S〉 | 〈sij〉 (13.18)
def
= Tij − 1
3 Tkkδij = −2Cs � ∆ 2 | � 〈S〉| � 〈sij〉 (13.19)
Ezeket a modell egyenleteket beírhatjuk a Germano azonosságba, ez alapján Csre
hat egyenletet kapunk, Lilly javaslata alapján azt követeljük megy, hogy a hat
egyenlet a legkisebb négyzetek értelmében legkisebb hibát tartalmazzon. Így explicit
képlet adható Cs kiszámítására. A módszer így időről időre, pontról-pontra
meghatározza Cs értékét és azzal végzi a szimulációt. Ennek előnye, hogy lamináris
áramlásban a kívánt Cs = 0 előállhat. A módszer praktikus alkalmazásánál
stabilitási problémát jelent, hogy Cs negatív értéket is felvehet, ezért ekkor nullára
szokás vágni, vagy ennek kiküszöbölése érdekében Cs értékét esetleges homogén
irányok mentén vagy áramvonal mentén átlagolják.
13.3.6. Numerikus szempontok
A RANS egyenletre vonatkozó numerikus áramlástani megfontolások alapján tudhatjuk,
hogy egy adott numerikus séma esetén az áramlás sajátosságai alapján választható
meg az optimális numerikus háló. Annak ellenőrzésére, hogy megfelelő
hálót használunk-e legjobb módszer az eredmény összevetése egy lényegesen sűrűbb
háló eredményével, mivel a praktikusan használt numerikus módszerek esetén
végtelen sűrű hálón a differenciál egyenlet tökéletes megoldását kaphatnánk
(persze itt kerekítési hibáktól pl. eltekintünk).
Nagy örvény szimulációra esetén azonban sokkal óvatosabbnak kell lennünk
a háló sűrítésével, mivel tudatosan használunk a DNS-hez képest jóval durvább
hálót. Ezen felül hagyományosan a szűrőméretet a háló mérettel azonos méretűre
szokták venni (innen a Sub Grid kifejezés), ez esetben azonban azonban a háló
Vázlat verzió
sűrítése a megoldandó egyenlet megváltoztatását is jelenti.
A numerikus megoldás pontosságát ezek alapján nyilván a szűrőméret és a
hálóméret arányának (∆/h) növelésével lehet csak vizsgálni. Tipikus eredmény,
hogy körülbelül ∆/h = 4 esetén ad egy másodrendű séma elfogadható hibájú
(1 − 5%) eredményt. Robusztus kódokban másodrendű séma tűnik a leghatékonyabbnak
a számítási erőforrás igény, pontosság arányt tekintve így érdemes ezt
az értéket figyelembe venni.
Ha ezt az eredményt összevetjük a hagyományosan használt ∆/h = 1 értékkel
erősen csodálkozhatunk, miért tudtak mégis elfogadható eredményeket elérni.
Saját használatra