TAIKOMOJI MATEMATIKA

Liopitalio taisyklė. Tegul funkcijos f ir g apibrėžtos ir diferencijuojamoskokioje nors taško a aplinkoje, išskyrus gal tik patįtašką a. Be to, lim f(x) = lim g(x) = 0 (lim f(x) = lim g(x) =x→a x→a x→a x→a∞), o išvestinė g ′ (x) nelygi nuliui nė viename minėtos aplinkostaške. Jei šiomis sąlygomis egzistuoja (baigtinė ar begalinė) ribalim , tai egzistuos ir riba lim ir bus teisinga šitokiaf ′ (x)x→a g ′ (x)f(x)lygybė: lim x→a g(x) = lim x→af1 pastaba. lim′ (x)x→a g ′ (x)gali neegzistuoti, nors funkcijų f ir g san-f(x)tykio riba lim x→a g(x)f ′ (x)g ′ (x) .( ) ′x 2 cos 1 x(ln (1 + x)) ′ = 2x cos 1 x − sin 1 x11+xkai x → 0, ribos neturi, tačiaux→af(x)g(x)ir egzistuoja. Pavyzdžiui, reiškinys= 2x (1 + x) cos 1 x + x sin 1 x + sin 1 x ,limx→0x 2 cos 1 xln (1 + x) = limx→0=lnlim x cos 1x→0 x(lim (1 + x) 1 xx→0x cos 1 x1= limxln (1 + x) x→0) = 0ln e = 0 1 = 0.x cos 1 xln (1 + x) 1 x2 pastaba. Jeigu f ′ (x) ir g ′ (x) tenkina tas pačias sąlygas, kaipir funkcijos f(x) ir g(x), tai Liopitalio taisyklę galima taikyti darf(x)kartą. Tuomet: lim x→a g(x) = lim f ′ (x)x→a g ′ (x) = lim f ′′ (x)x→a g ′′ (x). Dažnai Liopitaliotaisyklę reikia taikyti keletą kartų.4.9 pavyzdys. Remdamiesi Liopitalio taisykle, raskite ribąlimx→0 x2 ln x.56