TAIKOMOJI MATEMATIKA

4.13 pavyzdys. Užrašykite pirmuosius tris Teiloro formulės narius:f(x) = 3√ 8 + x, x → 0.Sprendimas. Remdamiesi (4.5) formule, užrašysime tris pirmuosiusTeiloro formulės narius. Visų pirma reikia apskaičiuoti šiosfunkcijos išvestinę:( )f ′ (x) =3√ ′ ) [8 + x =((8 + x) 1 ′ ( ) ]3 = u 1 ′ 13 =3 u− 2 3 · u′= 1 3 (8 + 2 x)− 3 · (8 + x) ′ 1=3 ·√(8 .3+ x) 2Dabar apskaičiuojame šios funkcijos antrąją išvestinę:⎛⎞′( )f ′ 1(x) = ⎝ √ ⎠ 1 ′=3 · 3(8 + x) 2 3 (8 + 2 x)− 3( ) =∣ u − 2 ′ 23 = −3 u− 5 3 · u′∣ = −1 3 · 23 (8 + 5 x)− 3 (8 + x)′2= − √9 3 (8 + x) 5Pirmieji trys Teiloro formulės nariai atrodo taip:kai a = 0, turėsimef(x) = f (a) + f ′ (a) (x − a) + f ′ (a)2!(x − a) 2 ,f(x) = f (0) + f ′ (0) · x + f ′ (0)x 2 . (4.6)2!Todėl, reikia apskaičiuoti pirmosios ir antrosios išvestinės reikšmętaške 0:f ′ 1(0) = √ = 13 · 3(8 + 0) 2 3 · 3√ 64 = 13 · 4 = 1 12 ,64