Jaargang 8, nommer 2 – Augustus 2011 - LitNet

LitNet Akademies Jaargang 8(2) Augustus 2011
asies van die oorspronklike ry reeds verwyder is. Dit is wat in die teorie van lineêre filters
met die 2-norm se kwadraat gedoen word met die Parseval-identiteit.
Van al die gewone p-norme is die 1-norm die mees robuuste. Die relevante norme in die
teorie van nielineêre gladstrykers kan dus as die 1-norm en Totale Variasie beskou word,
en daar is verskeie sterk verbande tussen die twee norme afgelei.
In hierdie artikel word belangrike bestaande resultate oor die benaderingseienskappe van
LULU-gladstrykers, sowel as verwante operatore soos die mediane, verduidelik. Verder
word lank bestaande vrae oor die benadering in die Totale Variasie-norm, en die 1-norm,
ondersoek en sommiges opgeklaar. Hoewel die redenasies en bewysmetodes vreemd is
vir enigiemand wat met die gewone vektorruimtes en lineêre teorie vertroud is, is die
argumente basies en eenvoudig om te interpreteer. Bowenal is dit nuttig vir sommige
keuses vir ’n Diskrete-Puls-Transform (DPT).
1. Basiese resultate vir komposisies van min.- en maks.operatore
Laat M0 = ℓ1 die bekende vektorruimte wees van rye wat absoluut sommeerbaar is met
die gewone definisies van sommering en skalaarvermenigvuldiging. Die p-norme, vir
p = 1, 2, 3, . . . , sowel as die sup-norm (p = ∞), sal dan ook bestaan. Addisioneel sal die
T-norm as T(x) = Σ|xi+1 − xi|, wat maar net die totale variasie van x is, gedefinieer word,
aangesien dit oënskynlik natuurlik is in hierdie analise.
In die teorie wat volg, is die verskillende ordes en parsiële ordes gebaseer op die gewone
volledige orde op die reële getalle R.
Definisie 1:
(a) Gegee x, y ∈ M0. Dan is x y as en slegs as xi yi, ∀i.
(b) Laat S, G operatore wees wat x ∈ M0 afbeeld op Sx ≡ S(x) ∈ M0 en Gx ≡ G(x)
respektiewelik. Dan is S G wanneer. Sx Gx, ∀x ∈ M0.
(c) Die operator S is monotoon as dit orde tussen x en y behou, of
x < y ⇒ Sx Sy.
In die Wiskundige Morfologie (Mathematical Morphology (MM)) word die term monotoon
gebruik, en ons sal dit ook hier gebruik, hoewel in die ontwikkeling van
LULU-teorie die term sintoon gebruik is, na aanleiding van Lothar Collatz se gebruik.
(d) Die operator S is buurordebehoudend (neighbour trend preserving (ntp)) as
∀i, xi < xi+1 ⇒ (Sx)i (Sx)i+1 en xi = xi+1 ⇒ (Sx)i = (Sx)i+1.
Die volgende eenvoudige operatore is fundamenteel in die teorie van gladstrykers [5].
Definisie 2:
(a) Die “skuif-operator” E is sodanig dat vir x ∈ M0, (Ex)i = xi+1, vir elke indeks i.
6
ISSN 1995-5928 | Tel: 021 886 5169 | E-pos: akademies@litnet.co.za