tc balıkesir üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim ...

More documents

Recommendations

Info

1. GİRİŞ Bu çalışmada, p asal iken F p sonlu cisimlerinde basitleştirilmiş Weierstrass denkleminin özel bir hali olan Frey eliptik eğrilerinin nokta sayıları ve grup yapısı incelenmiştir. 2 3 2 y = x + ax + bx + c tipindeki denklemlere eliptik eğriler (veya kübik denklemler) denir. Aslında eliptik eğri isimlendirilmesi biraz aldatıcıdır. Çünkü burada bir elips söz konusu değildir. Yalnızca belli tip denklemler söz konusudur. Bu denklemlere eliptik eğriler denilmesinin sebebi, eski zamanlarda elipslerin çevrelerini ve gezegen yörüngelerinin uzunluğunu hesaplamakta kullanılmış olmalarıdır. Eliptik eğrileri ilginç kılan özellik; çözümü çok kolay olan denklemlerle, çözümü zor ve neredeyse imkansız olan denklemler arasında bir yerde bulunmalarıdır. Genel eliptik eğrilerdeki a, b ve c değerleri değiştirilerek her biri farklı özelliklere sahip, fakat hepsi de çözülebilen, sonsuz sayıda denklem üretilebilir. Eliptik eğrilerle ilk ilgilenenler Yunanlı <strong>matematik</strong>çiler olmuştur. Diophantus, Arithmetika adlı eserinin büyük bir kısmını bunların özelliklerini incelemeye ayırmıştır. Muhtemelen Diophantus’dan ilham alan Fermat da bu zor konuya el atmıştır. Daha sonra da Fermat’nın son teoremi doğmuştur. Matematik tarihindeki en ünlü problemlerden biri olan Fermat’nın son teoremi, sayılar teorisinin temel yapı taşlarından biridir. Bu teorem n ≥ 3 tam sayıları için n n n x + y = z 1
denklemini sağlayacak sıfırdan farklı x, yz , tam sayı çözümleri olmadığını ifade eder. Fermat’nın bu son teoremi yaklaşık 3 yüzyıl boyunca birçok ünlü <strong>matematik</strong>çiyi meşgul etmiştir. 1984 sonbaharında Almanya’daki bir sempozyumda Gerhard Frey, Fermat’nın Son Teoreminin ispatlanabileceği konusunda bir sunum yapmıştır. Frey’e göre, Taniyama-Shimura varsayımı ispatlanabilirse Fermat’nın Son Teoremi de ispatlanabilecekti. Frey, Fermat’nın Son Teoremi yanlışsa, yani en az bir tamsayılı çözüm varsa neler olacağından bahsediyordu. Bunun nasıl bir şey olacağını kendisi de bilmediğinden aranan sayıların yerine A , B ve C harflerini koydu: N N N A + B = C Daha sonra kurgusal olarak çözülmüş denklemini şu hale getirdi: 2 N N y = x x− A x+ B ( )( ) Frey bunun bir eliptik eğri olduğunu söyledi. Dolayısıyla eğer Taniyama- Shimura varsayımının doğru olduğu ispat edilecek olursa, her eliptik eğri mutlaka modüler olacaktı. Her eliptik eğri mutlaka modüler ise, Frey’in eliptik eğrisi mevcut değildir, yani böyle bir eliptik denklem yoksa Fermat’nın denkleminin çözümü yoktur. Öyleyse “Fermat’nın son teoremi doğrudur” denile bilinirdi. Daha sonra Ken Ribet, Fermat ile Taniyama-Shimura arasındaki bağlantıya son şeklini kazandırmıştır. Nihayet 1993 yılında, Fermat’nın son teoremini ispatlamayı hayatının tutkusu haline getiren Andrew Wiles, bu rüyayı gerçekleştirmiştir. 1920’lerde Siegel tarafından, kübik bir denklemin sonlu sayıda tam sayı çözümleri olduğu ispatlanmıştır. Baker-Coates, 1970’te tam sayı çözümleri için bir üst sınır vermişlerdir. 2
Page 1 and 2: T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FE
Page 3: T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FE
Page 6 and 7: ABSTRACT THE FREY ELLIPTIC CURVES O
Page 8 and 9: 4. Fp SONLU CİSİMLERİ ÜZERİNDE
Page 10 and 11: ϕ q q Frobenius endomorfizmi t Fro
Page 12 and 13: ÇİZELGE LİSTESİ Çizelge Numara
Page 16 and 17: Kübik denklemlerin sonsuz çoklukt
Page 18 and 19: 2. ÖN BİLGİLER Bu bölümde çal
Page 20 and 21: 2.1.11 Teorem p bir asal olsun. Eğ
Page 22 and 23: 2.1.22 Teorem p ≡ 1(mod3) asal is
Page 24 and 25: 8 2 6 2 4 3 4b = b b − b ve 12
Page 26 and 27: 2.2.8 Tanım Katsayıları F cismin
Page 28 and 29: olur. olur. olur. Eğer Kar ( F ) =
Page 30 and 31: Çizelge 2.2.1 Kar( F ) j Eliptik e
Page 32 and 33: 2.3.6 Örnek cismi üzerinde Şeki
Page 34 and 35: Şekil.2.3.3 Birim eleman iii) Değ
Page 36 and 37: ο , P, P, P,( P + P), − ( P + P)
Page 38 and 39: 2.3.9 Tanım E \ F , (2.2.3) tipind
Page 40 and 41: Büküm noktalarının kümesi E( F
Page 42 and 43: dir. Bu noktaların koordinatları
Page 44 and 45: dür [10]. En [ ] ≅ n′ × n′
Page 46 and 47: sembolü sonlu cisim genişlemesini
Page 48 and 49: c) q -Frobenius endomorfizminin izi
Page 50 and 51: 2.6.4 Örnek F 5 üzerinde 2 3 : =
Page 52 and 53: 2.7.1 Tanım E \ F q , q = pkve p >
Page 54 and 55: p 3.2 Frey Eliptik Eğrilerinin Nok
Page 56 and 57: 2 3 2 İspat y ≡ x − n x (mod p
Page 58 and 59: 3.3.5 Teorem p ≡ 1(mod4) bir asal
Page 60 and 61: 17 | − 17 ’dır. 16 (17) = ∑
Page 62 and 63: dır. b) r+ s≡ 3(mod 4) ise i) n
Page 64 and 65:
2 3 2 Q = {1,3,4,5,9} olduğundan y
Page 66 and 67:
2 3 2 3.4.9 Teorem p ≡ 3(mod 4) b
Page 68 and 69:
dır. p−1 ∑ n= 1 N p 2 pn , =
Page 70 and 71:
formülünden N 2 = 56 bulunur. Ben
Page 72 and 73:
dır. r tek ve s çift, 4.1.1 Teore
Page 74 and 75:
göre 2 584 = 2 .146 = 541+ 1− t
Page 76 and 77:
4.2.9 Sonuç p ≡1(mod4) bir asal
Page 78 and 79:
) p ≡ 5(mod8) bir asal olsun. Bu
Page 80 and 81:
4.3.8 Örnek 2 3 2 y x x mertebeden
Page 82 and 83:
durumda, 4.3.15 Örnek p = 17 olsun
Page 84 and 85:
E n eğrisi üzerindeki rasyonel no
Page 86 and 87:
mertebe := proc( x1, y1p , , k) y2
Page 88 and 89:
EK B : “ 2 3 2 y = x − n x (mod
Page 90 and 91:
x2 = x y2 = y Loop Sheets(1).Cells(
Page 92 and 93:
x = m * m - x1 - x1 y = m * (x1 - x
Page 94 and 95:
2 3 2 EK C : “ y = x − 1 x(mod
Page 96 and 97:
EK E : “p=3 (mod 4) ASALLARIN Lİ
Page 98 and 99:
EK G : “p MODUNDA İKİNCİ DEREC
Page 100 and 101:
1 3 4 7 9 10 11 12 16 21 25 26 27 2
Page 102 and 103:
EK J : “37 MODUNDA ÜÇÜNCÜ DER
Page 104 and 105:
KAYNAKLAR [1] Jones, G.A., Jones, J
Page 106:
[22] Çelik, B., Maple ve Maple ile
show all

tc balıkesir üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?