tc balıkesir üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim ...

⎛ p −1⎞ 1 p−1 ⎜ ⎟.
=
⎝ 2 ⎠ 2 4
şekilde bulunur. ■
tane eğri x ∈ Qp
elemanına sahiptir. Diğer yarısı da benzer
3.3.2 Örnek p = 13 olsun. 1≤n≤ 12 olmak üzere p 1 −
= 6 tane
2
2 3 2
p− 1
y = x − n x (mod 13)
eğrisinin = 3 tanesinin her birinde x ∈ Qp
olan iki
4
nokta, diğer yarısında da x ∈ Q 'p olan iki nokta vardır. p = 13 için
13
{ 1, 3, 4, 9,10,12 }
2 3 2 3 2
Q = ’dir. y ≡ x −1 x ≡ x − 12 x (mod 13)
eliptik eğrisinde
2 3 2 3 2
(, 10 ) ve ( 12, 0 ) noktaları için 1, 12 ∈ Q13
’tür. y ≡ x −3 x ≡ x − 10 x (mod 13)
eliptik eğrisinde ( 30 , ) ve ( 10, 0 ) noktaları için 3, 10 ∈ Q13
’tür.
2 3 2 3 2
y ≡ x −4 x ≡ x − 9 x (mod 13)
eliptik eğrisinde ( 40 , ) ve ( 90 , ) noktaları için
2 3 2 3 2
∈ ’tür. y ≡ x −2 x ≡ x − 11 x (mod 13)
eliptik eğrisinde ( 20 , ) ve
4, 9 Q13
2 3 2 3 2
( 11, 0 ) noktaları için 2, 11 ∉ Q13
’tür. y ≡ x −5 x ≡ x − 8 x (mod 13)
eliptik
eğrisinde ( 50 , ) ve ( , )
80 noktaları için 5, 8 Q13
44
∉ ’tür.
2 3 2 3 2
y ≡ x −6 x ≡ x − 7 x (mod 13)
eliptik eğrisinde ( 60 , ) ve ( 70 , ) noktaları için
6, 7 ∉ Q13
’tür.
2 3 2
3.3.3 Teorem p ≡ 1(mod4) asal olsun. y ≡ x − n x (mod p)
eğrisinde,
eğer n∈ Qpise
x ∈ Qp
olan 2 tane x değeri vardır. Bunların toplamı p ile bölünür.
Ayrıca ordinatları ise 0’dır.
İspat Teorem 2.1.11’den görülür. ■
2 3 2
3.3.4 Örnek p = 13 olsun. y ≡ x − 9 x (mod 13)
eğrisini ele alalım.
Burada n= 9∈ Q13
’tür. Q 13 = {1,3,4,9,10,12} olduğundan, x ∈ Qp
olan noktalar
(, 10 ) ve ( 12, 0 ) ’dır. Apsisleri toplamı 0’dır. Ayrıca ordinatları da 0’dır.