tc balıkesir üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim ...

4. Fp SONLU CİSİMLERİ ÜZERİNDEKİ y 2 =x 3 –n 2 x FREY ELİPTİK
EĞRİLERİNİN GRUP YAPISI
4.1 Giriş
p asal olsun.
n ∈ F = F −{0}
iken E n Frey eliptik eğrilerinin grup yapısını
*
p p
inceleyeceğiz. p ’ nin 4 modunda 1’e ve 3’e denk oluşuna göre iki ayrı
sınıflandırma yapmak mümkündür. En( F p)
’nin grup yapısını veren bilinen bir
sonuç yoktur. p ≡ 3(mod 4) ise E n( Fp) ≅ Z2× Z p+
1,
p + 1 mertebeli bir gruptur.
Fakat bu bölümde yalnızca p ≡ 1(mod4) ise a
58
2
Z ve ab .
direkt çarpımına izomorf olduğunu göstereceğiz. Yani ab∈ , için
E ( F ) ≅ Z × Z
n p a a. b
Z devirli gruplarının bir
dir. Ayrıca nokta sayısı, mertebe ve Frobenius endomorfizminin izi ile ilgili bazı
sonuçları elde etmeye çalışacağız. ( )
n p
E F ’nin mertebesini daha önceden N , ile
gösterdik. Vereceğimiz sonuçların ifadesini kolaylaştırması açısından bundan sonra
N p, n yerine bazen N kullanacağız. Nokta sayısını
2
N = a b= p+ 1−
t
şeklinde ifade edeceğiz. Burada t , Frobenius endomorfizminin izidir. Bu bölümde
verdiğimiz örneklerde nokta sayısı ve mertebe hesaplamalarında Maple ve Visual
Basic programları kullanılmıştır [22].
p n