tc balıkesir üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim ...
tc balıkesir üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim ...
tc balıkesir üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
4.2.9 Sonuç p ≡1(mod4) bir asal ise t ≡ ∓ 2(mod8) olur.<br />
Şimdi de 2 r = | t|<br />
olacak şekilde bir r tam sayısı tanımlayalım. Yani<br />
2 r = | p+ 1 − N | olsun. Bundan sonraki hesaplamalarımızda r ve t ile ilgili sonuçlar<br />
elde edeceğiz. (3.1.1) tipindeki eğri için t = 2r<br />
ise eşleniği için t =− 2r<br />
’dir. İlk<br />
olarak (3.1.1) tipindeki Frey eliptik eğrisi ve eşleniği üzerindeki rasyonel noktaların<br />
sayısı hakkında aşağıdaki sonucu verebiliriz.<br />
4.2.10 Teorem<br />
a) p ≡ 1(mod8) bir asal olsun. Bu durumda<br />
i) t = 2r<br />
olmak üzere r ≡ 1(mod4) ise (3.1.1) tipindeki eğri için<br />
N ≡ 0(mod8) ve bu eğrinin eşleniği için t = − 2r<br />
ve N ≡ 4(mod8) olur.<br />
ii) t = 2r<br />
olmak üzere r ≡ 3(mod4) ise (3.1.1) tipindeki eğri için<br />
N ≡ 4(mod8) ve bu eğrinin eşleniği için t = − 2r<br />
ve N ≡ 0(mod8) olur.<br />
b) p ≡ 5(mod8) bir asal olsun. Bu durumda<br />
i) t = 2r<br />
olmak üzere r ≡ 1(mod4) ise (3.1.1) tipindeki eğri için<br />
N ≡ 4(mod8) ve bu eğrinin eşleniği için t = − 2r<br />
ve N ≡ 0(mod8) olur.<br />
ii) t = 2r<br />
olmak üzere r ≡ 3(mod4) ise (3.1.1) tipindeki eğri için<br />
N ≡ 0(mod8) ve bu eğrinin eşleniği için t = − 2r<br />
ve N ≡ 4(mod8) olur.<br />
İspat p ≡ 1(mod8) asal olsun. n ∈Z için p = 1+ 8n<br />
yazalım.<br />
t ≡ 2(mod8) ve t = 2r<br />
olmak üzere r ≡ 1(mod 4) ’dir. Şimdi m ∈Z için<br />
t = 2+ 8m<br />
yazalım. O halde<br />
N = p+ 1− t = 1+ 8n+ 1−2−8m = 8( n−m) olur. Bu da N ≡ 0(mod8) oluşunu gerektirir. Diğer kısımlar benzer şekilde<br />
ispatlanabilir.■<br />
63
Change language