tc balıkesir üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim ...

2 3 2
Q = {1,3,4,5,9} olduğundan y ≡ x − 3 x (mod 11)
eğrisi için (, 10 ) ,
11
( 44 , ) , ( 47 , ) , ( 94 , ) ve ( , )
97 noktalarının apsisleri, 11
51
Q ’de yer alır. ( 00 , ) , ( 10, 0 ) ,
( 61, , ) ( 610, , ) ( 83 , ) ve ( 88 , ) noktalarının apsisleri ise yer almaz. Teoreme göre
bakarsak, n 3 Q11
= ∈ olduğundan, gerçekten de
p − 1
= 5 tane x ∈ Qp
değeri ve
2
p + 1 2 3 2
= 6 tane de x ∈ F p \ Qp
değeri vardır. y ≡ x − 7 x (mod 11)
eğrisi için ise
2
( 40 , ) , ( 31 , ) , ( 310 , ) , ( 51 , ) ve ( , )
Q ’de yer alır. ( 00 , ) ,
510 noktalarının apsisleri, 11
(, 70 ) , ( 23, , ) ( 28 , ) , ( 10, 2 ) ve ( 10, 9 ) noktalarının apsisleri ise yer almaz. Teoreme
göre bakarsak, n= 7 ∉ Q11
olduğundan,
tane de x ∈ F \ Q değeri vardır.
p p
3.4.5 Teorem p ≡ 3(mod4) asal olsun. Eğer
p − 1
= 5 tane x ∈ Qp
değeri ve
2
*
p
p + 1
= 6
2
n∈ K ve y ≡ 0 (mod p)
ise
2 3 2
y ≡ x − n x (mod p)
eğrisinde apsisleri K p ’de kalan 3 nokta vardır.
3 2
İspat y ≡ 0 (mod p)
olsun. O zaman x ≡ nx(mod p)
ve
x( x− n)( x+ n) ≡ 0 (mod p)
olur. Buradan x ≡ 0 (mod p)
, x ≡ n (mod p)
ve
x ≡ p− n (mod p)
elde edilir. Tüm çözümlerin K p ’de olduğu aşikardır. ■
2 3 2
3.4.6 Örnek p = 19 olsun. y ≡ x − 11 x (mod 19)
eğrisini ele alalım.
Burada (,) 00 , (, 10 ) ve ( 18, 0 ) noktalarının ordinatları 0’dır.
{ 0,1,7,8,11,12,18}
K 19 = olduğundan bu noktaların apsislerinin p
görülür.
K ’de olduğu
2 3 2
3.4.7 Teorem p ≡ 3(mod4) bir asal olsun. y ≡ x − n x (mod p)
eğrisi
üzerindeki rasyonel noktaların apsisleri toplamı
3 2
∑ (1 + χ p ( − )).
x∈Fp
x nx x