tc balıkesir üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim ...

şeklinde ifade edilir. Aynı zamanda böyle y değerlerinin toplamı da p modunda
0’a denktir.
2 3 2
İspat x ≡0, 1, 2,..., p− 1 (mod p)
için y ≡ x − n x (mod p)
eğrisi
üzerindeki y değerlerini bulalım. Eğer
54
2
y Qp
∈ ise y∈ Up’nin
iki değeri vardır.
3.4.9 Teoreme göre p+1 tane nokta vardır. (0,0), (n,0) ve (p-n,0) noktaları hariç
diğer noktaların ordinatları sıfırdan farklıdır. Bunlar ordinatları toplamı p olan nokta
çiftleri oldukları için x’in tüm olası değerlerinin sayısı 3.4.1 Teoreme göre
Yukarıdaki üç noktayı çıkarırsak
p + 3
’dir.
2
p− 3
tane nokta çifti elde ederiz. Dolayısıyla
2
p− 3
⎛ p−3⎞ tanesi Q p ’nin elemanı olur. Yani 4+ ⎜ ⎟.
2= p+ 1
2
⎝ 2 ⎠
buradan çıkar. ■
olur. O halde sonuç
2 3 2
3.4.12 Örnek p = 7 olsun. y ≡ x − 6 x (mod 7)
eğrisinde ( 00 , ) , ( 10 , ) ,
( 60, , ) ( 42 , ) , ( 45, , ) ( 51 , ) ve ( 56 , ) noktaları yer almaktadır. Q 7 = {1, 2,4}
olduğundan
∑
x∈F7
ρ( x)
= ρ(0) + ρ(1) + ρ(2) + ρ(3) + ρ(4) + ρ(5) + ρ(6)
= 0+ 0+ 0+ 0+ 2+ 2+ 0
= 4
∑
x∈F7
4 + ρ(
x)
= 4+ 4= 8
dır. O halde bu eğri üzerinde toplam 8 tane nokta bulunur. Ayrıca buradaki
noktaların ordinatları toplamı da 0+ 0+ 0+ 2+ 5+ 1+ 6= 14≡ 0 (mod7) olarak
bulunur.
3.4.13 Teorem p bir asal ve 1≤ n≤ p−
1 olsun. E ( F ) ’deki rasyonel
noktaların sayısı N , = # E ( F ) olsun. O zaman
p n n p
n p