tc balıkesir üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim ...

4.3.13 Teorem p bir asal olsun. x ’in 1 ile p arasında
şartını sağlayan 3 değeri vardır.
68
3
x −x≡ p
0(mod )
İspat x( x− 1)( x+ 1) ≡ 0 (mod p)
denkliğinin 3 tane çözümü olduğu açıktır.
Bunlar x ≡ 0(mod p)
, x ≡ 1(mod p)
ve x ≡ p− 1(mod p)
değerleridir. ■
olur.
4.3.14 Teorem p ≡ 1(mod4) asal olsun. Bu durumda
∑ F
x∈
p
χ
3
( x −x) ≡2
(mod4)
İspat Her bir x ∈ F p için 3
x − x ’in p tane değeri hesaplanabilir. 4.3.13
Teorem gereği bu değerlerden üçü 0’dır.
şeklinde gruplandırılabilir. p ≡ 1(mod4) iken
p= 1+ 4k
yazarsak
3
x − x ’in kalan p-3 değeri
p − 3
tane ikili
2
p − 3
tektir. Gerçekten k ∈Z için
2
p − 3
= 2k− 1 olur. Varsayalım ki bu ikililerden s tanesi Q p ’de
2
2k −1− s tanesi de p Q′ ’ünde olsun. Bir ikili Q p ’de ise
eklenir. Eğer p Q ′ nde ise toplama (-2) eklenir. Bu yüzden
∑ F
x∈
p
χ
ifadesi sonucu gerektirir. ■
∑ F
x∈
p
3
( x − x) = 3.0 + s.( + 2) + (2k−1 −s).( −2)
= 4( s− k)
+ 2
χ
3
( x − x)
toplamına 2