tc balıkesir üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim ...

4.2.4 Örnek p = 281 ≡ 1 (mod 8) bir asal iken
62
2 3 2
y ≡ x − x
14 (mod 281)
eliptik eğrisini ele alalım. N 281,14 = 272 ve t = 10≡ 2(mod8) ve
N = 272 ≡ 0 (mod 8) ’dır. Şimdi de p = 461 ≡ 5 (mod 8) bir asal iken
2 3 2
y x x
≡ − 433 (mod 461) eliptik eğrisini ele alalım. N 461,433 = 500 ve
t =−38≡ 2(mod8) ve N = 500≡ 4(mod8) ’dır.
4.2.5 Teorem p ≡ 1(mod4) bir asal olsun. Bu durumda t , 4 ile bölünemez.
İspat Tersine t ’nin 4 ile bölündüğünü varsayalım. Bu durumda k ∈Z için
t = 4k
ve n ∈ için p= 1+ 4n
yazarsak N = 1+ 4n+ 1− 4k
elde ederiz. Bu da
N ≡ 2(mod4) oluşunu gerektirir. Fakat N , 4 modunda 2’ye denk olamaz. Çünkü
Teorem 4.1.1.’e göre, N ≡ 0(mod4) ’tür. Bu da varsayımımızla çelişir. Bu yüzden
t , 4 ile bölünemez. ■
4.2.6 Örnek p = 397 ≡ 1 (mod 4) bir asal iken
2 3 2
y ≡ x − x
43 (mod 397)
eliptik eğrisini ele alalım. N 397,43 = 360 ’dır. N = p+ 1−
t formülünden t = 38
bulunur. 4 | 38
/ ’dir. Ayrıca
257,103
2 3 2
y x x
≡ − 103 (mod 257) eğrisini de incelersek
N = 260 ’tır. Nokta sayısı formülünden t = − 2 bulunur. Yine 4 / | −2
’dır.
4.2.7 Sonuç p ≡ 1(mod4) asal olsun. Bu durumda N ≡ 0 veya
N ≡ 4(mod8) olur.
4.2.8 Örnek
2 3 2
y x x
≡ − 289 (mod 389) eliptik eğrisini ele alalım. Nokta
sayısı N 389,289 = 424 ’tür. O halde N ≡ 0(mod4) ’dır.
eğrisi için ise N 389,33 = 356 ’tır. O halde N ≡ 4(mod8) ’dır.
4.2.3 Teoremden şu sonucu verebiliriz:
2 3 2
y ≡ x − x
33 (mod 389)