tc balıkesir üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim ...

4.3.8 Örnek
2 3 2
y x x
mertebeden 4 tane eleman vardır.
≡ − 12 (mod 61) eğrisinde 12∈ Q61
olduğundan 4.
2 3 2
y x x
olduğundan 4. mertebeden 12 tane eleman vardır.
68∈ Q ' olduğundan 4. mertebeden eleman yoktur.
73
≡ − 32 (mod 73) eğrisinde ise 32∈ Q73
67
2 3 2
y x x
4.3.9 Teorem p ≡ 1(mod4) bir asal olsun. E n eğrisinde
a) n∈ Qpolması
için gerek ve yeter şart N ≡ 0(mod8) ,
b) n∈ Q'polması
için gerek ve yeter şart N ≡ 4(mod8) ’dır.
İspat 4.3.1 Sonuç ve 4.3.7 Teoremden görülür. ■
4.3.10 Örnek
N = 128 ≡ 0 (mod8) ’dır.
2 3 2
y x x
≡ − 68 (mod 73) eğrisinde
≡ − 14 (mod 113) eğrisinde 14∈ Q113
olduğundan
2 3 2
y x x
olduğundan N = 116 ≡ 4 (mod8) elde edilir.
vardır,
≡ − 21 (mod 137) eğrisinde ise 21∈ Q '137
4.3.11 Teorem p ≡ 1(mod4) bir asal olsun. E n eğrisinde
a) N ≡ 0(mod8) ise E ( F ) ’nin 4. mertebeden 4 ya da 12 tane elemanı
n p
b) N ≡ 4(mod8) ise E ( F ) ’nin 4. mertebeden elemanı yoktur.
n p
İspat 4.3.7 Teorem ve 4.3.9 Teoremden kolayca görülür. ■
4.3.12 Örnek
2 3 2
y x x
≡ − 10 (mod 13) eliptik eğrisini ele alalım.
N = 8≡ 0 (mod8) ’dır. Bu eğri üzerinde 4. mertebeden 4 tane eleman vardır: ( 24 , ) ,
( 29 , ) , ( 11, 6 ) ve ( 11, 7 ) .
2 3 2
y x x
≡ − 4 (mod 17) eliptik eğrisi için ise
N = 16 ≡ 0 (mod8) olur. Bu eğri üzerinde ise 4. mertebeden 12 tane eleman vardır:
(, 16 ) , ( 111 , ) , ( 38 , ) , ( 39 , ) , ( 61, , ) ( 616 , ) , ( 11, 4 ) , ( 11, 13 ) , ( 14, 2 ) , ( 14, 15 ) ,
( 16, 7 ) ve ( 16, 10 ) . Şimdi de
2 3 2
y x x
≡ − 14 (mod 17) eliptik eğrisi için
N = 20 ≡ 4 (mod8) olduğundan bu eğride 4. mertebeden eleman yoktur.