tc balıkesir üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim ...

2 3 2
3.4.9 Teorem p ≡ 3(mod 4) bir asal olsun. y ≡ x − n x (mod p)
eğrisindeki rasyonel sayıların sayısı # En( F p) = Np, n = p+
1’dır.
İspat [11] nolu kaynakta
2
k = n durumundaki ispatı bulunabilir. Şimdi biz
2 3 2
ikinci bir ispatını verelim. p ≡ 3(mod4) asal olmak üzere y ≡ x − n x (mod p)
p + 3
eğrisinde 3.4.1 Teoreme göre, tane farklı x ∈ F p değeri vardır. y ≡ 0 (mod p)
2
için x ≡ 0(mod p)
, x ≡ n(mod p)
ve x ≡ p− n(mod p)
çözümleri aşikardır.
p+ 3 p−3 Bunları bu x değerlerinden çıkarırsak − 3 = tane farklı değer kalır. Her
2 2
bir x ∈ F p için, ordinatları toplamı p olan iki farklı nokta elde ettiğimize göre bunu 2
p− 3
ile çarparsak 2. = p− 3 tane nokta elde ederiz. Daha sonra çıkardığımız 3
2
değeri tekrar eklersek p − 3+ 3= p tane nokta elde ederiz. Tabi ki bir de sonsuzdaki
nokta ο olduğundan nokta sayısı p+1 olur. ■
2 3 2
3.4.10 Örnek p = 23 olsun. y ≡ x − 14 x (mod 23)
eğrisini ele alalım.
Bu eğri üzerindeki noktalar ( 00 , ) , ( 90 , ) , ( 14, 0 ) , ( 19 , ) , ( 114 , ) , ( 44 , ) , ( 419 , ) ,
( 611, , ) ( 612, , ) ( 711, , ) (, 712 ) , ( 85, , ) ( 818 , ) , ( 10, 11 ) , ( 10, 12 ) , ( 11, 7 ) , ( 11, 16 ) ,
( 18, 2 ) , ( 18, 21 ) , ( 20, 3 ) , ( 20, 20 ) , ( 21, 4 ) , ( 21, 19 ) ve ο ’dur. Teoreme göre de
rasyonel noktaların sayısı # E14( F 23) = N23,14
= 23+ 1= 24’tür.
2 3 2
3.4.11 Teorem p ≡ 3(mod4) bir asal olsun. y ≡ x − n x (mod p)
eğrisi
üzerindeki ( x, y ) rasyonel noktalarının sayısı
toplamına eşittir ve burada
4 ρ(
x)
+ ∑
x∈Fp
3 2
⎧2 , χ(
x − n x)
= 1
ρ(
x)
= ⎨
3 2
⎩0
, χ(
x − n x)
≠ 1
53