tc balıkesir üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim ...

her değeri y’nin t ve p-t gibi iki değerini verir. p ≡ 3(mod4) asal iken 2.1.11
Teoreme göre m∈ Qp
iken p − m∈ Q'p
olduğundan
⎛ p −1⎞ p−3 ⎜ ⎟−
1 =
⎝ 2 ⎠ 2
de eklersek
50
Q
p
p −1
= ifadesinden
2
tane değer elde ederiz. y ≡ 0(mod p)
için de 3 farklı x değerini
p − 3 p+ 3
+ 3 = tane farklı x değeri bulunur. ■
2 2
2 3 2
3.4.2 Örnek p = 7 olsun. y ≡ x − 3 x (mod 7)
eğrisinde (,) 00 , (,) 30 ,
( 40 , ) , ( 22 , ) , ( 25, , ) ( 61 , ) ve ( 66 , ) noktaları yer almaktadır. Görüldüğü gibi
p+ 3
x ∈ F 7 ’in = 5 tane farklı değeri vardır. Sabit x = 6 için y = 1 ve y = 6 gibi iki
2
farklı değeri vardır ve bu y’lerin toplamı p = 7 ’dır.
vardır.
2 3 2
3.4.3 Teorem p ≡ 3(mod4) asal olsun. y ≡ x − n x (mod p)
eğrisinde
a) eğer n∈ Qpise
b) eğer n∈ Qpise
c) eğer n∈ Q'pise
d) eğer n∈ Q'pise
İspat Aşikardır.
p − 1
tane x ∈ Qp
değeri,
2
p + 1
tane x ∈ F p \ Qp
değeri,
2
p − 1
tane x ∈ Qp
değeri,
2
p + 1
tane x ∈ F p \ Qp
değeri,
2
2 3 2
3.4.4 Örnek p = 11 olsun. y ≡ x − 3 x (mod 11)
eğrisinde (,) 00 , (, 10 ) ,
( 10, 0 ) , ( 44 , ) , ( 47 , ) , ( 61, , ) ( 610, , ) ( 83, , ) ( 88 , ) , ( 94 , ) ve ( 97 , ) noktaları vardır.
2 3 2
y ≡ x − 7 x (mod 11)
eğrisinde ise ( 00 , ) , ( 40 , ) , ( 70 , ) , ( 23, , ) ( 28 , ) , ( 31 , ) ,
(, 310 ) , ( 51, , ) ( 510 , ) , ( 10, 2 ) ve ( 10, 9 ) noktaları bulunmaktadır. Şimdi n
değerlerinin 11 Q ’de bulunup bulunmadığına göre x’in kaç tane değerinin 11
bulunup bulunmadığına bakalım.
Q ’de