tc balıkesir üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim ...

formülüyle ifade edilir.
İspat
2
⎧ 1 x ≡ t (mod p) çözümü var ise
⎪
χ p () t = ⎨ 0
p t
⎪− 2
⎩ 1 x ≡t(mod
p) çözümü yok ise
şeklinde tanımlandığından 1 ( ) 0,1 χ + = ya da 2 olduğunu biliyoruz.
3 2
y ≡ 0(mod p)
iken x −nx≡ 0(mod p)
dir ve p |0 iken
Eğri üzerindeki her bir ( x ,0) noktası için (1+ 0).x = x toplama eklenir.
p t
52
χ − = dır.
3 2
p ( x n x)
0
3 2
x − nx= t
⎛ t ⎞
olsun. ⎜ ⎟=
1 ise eğri üzerindeki her bir ( x, y ) noktası için ( x, − y)
noktası da eğri
⎝ p ⎠
üzerindedir. Böylece her bir t için (1+ 1). x = 2x
toplama eklenir. Sonuç olarak
⎛ t ⎞
⎜ ⎟=−1
⎝ p ⎠
ise 2
x ≡ t (mod p)
’nin hiç çözümü yoktur ve böyle ( x, y ) noktaları için
(1 + ( − 1)). x = 0 oluşu toplamla çelişir. ■
2 3 2
3.4.8 Örnek y ≡ x − 5 x (mod 11)
Frey eliptik eğrisi üzerindeki rasyonel
noktalar (,) 00 , ( 50 , ) , ( 60, , ) (, 13 ) , (, 18 ) , (, 75, ) (, 76 ) , ( 82 , ) , ( 89 , ) , ( 93 , ) ve
( 98 , ) noktalarıdır. Teorem yardımıyla bu noktaların apsisleri toplamını bulalım.
dır.
Q = {1,3,4,5,9} olduğundan
11
∑
x∈F11
(1 + χ ( x − 5 x)). x=
(1 + χ (0)).0 + (1 + χ (9)).1 + (1 + χ (2)).2
3 2
11 11 11 11
+ (1 + χ11(7)).3 + (1 + χ11(8)).4 + (1 + χ11(0)).5
+ (1 + χ11(0)).6 + (1 + χ11(3)).7 + (1 + χ11(4)).8
+ (1 + χ11(9)).9 + (1 + χ11(2)).10
= 0 + 2 + 0 + 0 + 0 + 5 + 6 + 14 + 16 + 18 + 0
= 61