tc balıkesir üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim ...

Kübik denklemlerin sonsuz çoklukta da olabilecek rasyonel çözümleri,
çözümlerin sonlu bir kümesi ile başlanarak geometrik bir işlemin tekrarlı
uygulamasıyla bulunabilir. Böyle üretilmiş sonlu kümelerin var olduğu 1901’de
Poincaré tarafından ortaya atılmıştır. 1922’de L. J. Mordell, sayı cisminde
tanımlı eliptik eğriler üzerindeki rasyonel noktaların grubunun daima sonlu üreteçli
olduğunu ispatladı. 1928’de ise Weil sayı cisimlerine ve yüksek cinse sahip eğrilere
karşılık gelen durumlara genelleştirmiştir. Mordell teoremi, rasyonel çözümlerin
kümesi için sonlu bir üreteç kümesi bulmaya yardımcı olan bir yöntemdir. Fakat
Mordell’in metodunun, bir üreteç kümesi verdiği henüz ispatlanamamıştır. Daha
sonra 1974’te, sayı cisminde tanımlı eliptik eğriler üzerindeki sonlu mertebeli
rasyonel noktaların, devirli grup veya iki devirli grubun direkt çarpımına izomorf
olduğu, Barry Mazur tarafından ispatlanmıştır.
Son otuz yıldır eliptik eğriler, sayılar teorisi ve kriptografi gibi alanlarda giderek
artan bir önem kazanmıştır. 1980’li yıllardan itibaren eliptik eğriler kriptografide,
çarpanlara ayırma ve asallık testlerinde kullanılmaya başlanmıştır. Benzer şekilde
1980’li ve 1990’lı yıllarda Fermat’nın son teoreminin ispatında, kullanılan en önemli
kavram eliptik eğriler olmuştur.
Çalışmanın birinci bölümü, tezin amacının verildiği ve tezin bölümlerinin
tanıtıldığı giriş bölümüdür.
İkinci bölümde, yani ön bilgiler bölümünde, ilerleyen bölümlere temel
oluşturacak bazı tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Bu bölümde, ikinci ve üçüncü
dereceden kalan kavramları, normal formlar, toplama kuralı, sonlu cisimler
üzerindeki eliptik eğriler, eliptik eğrilerin nokta sayılarının hesaplanmasında önemli
bir yeri olan Frobenius endomorfizmi, süpersingüler eğriler, rasyonel noktaların
sayısının hesaplanmasıyla ilgili teoremler ve son olarak grup mertebesi verilen
eliptik eğrilerin grup yapısından bahsedilmiştir.
Üçüncü bölümde basitleştirilmiş Weierstrass normal formundaki
2 3
y = x + Ax+ B eliptik eğrilerinin n , A , B , birer tam sayı olmak üzere
B = 0 özel hali olan
3
2
A =− n ve