tc balıkesir üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim ...

dır.
b) r+ s≡ 3(mod 4)
ise
i) n∈ Qpise
Npn , = p+ 1+ 2r
ii) n∈ Q'pise
Npn , = p+ 1− 2r
2 3 2
3.3.11 Örnek p = 17 olsun. y ≡ x − 4 x (mod 17)
Frey eliptik eğrisi
üzerindeki 16 nokta ( 00 , ) , ( 40 , ) , ( 13, 0 ) , ( 16 , ) , ( 111 , ) , ( 38 , ) , ( 39 , ) , ( 61, , )
( 616 , ) , ( 11, 4 ) , ( 11, 13 ) , ( 14, 2 ) , ( 14, 15 ) , ( 16, 7 ) ,( 16, 10 ) ve ο ’dur. Şimdi
teoreme göre şöyle hesaplayalım:
r tek ve s çift tamsayı olmak üzere
49
2 2 2 2
p = r + s = 17 = 1 + 4 olduğundan
r = 1 ve s = 4 bulunur. r+ s = 1+ 4≡ 1(mod 4)
ve n= 4∈
Q17
olduğu için
nokta sayısı 16 olarak bulunur.
N17,4 = p+ 1− 2r = 17+ 1− 2.1= 16
3.4 p ≡ 3 (mod 4) Asal İken Frey Eliptik Eğrilerindeki Rasyonel
Noktalar
Şimdi de 4 modunda 3’e denk olan p asalları için, (3.1.1) eğrisinde, rasyonel
noktaların özellikleriyle ilgili elde edilen sonuçları verelim.
x ∈ F p ’in
2 3 2
3.4.1 Teorem p ≡ 3(mod4) asal olsun. y ≡ x − n x (mod p)
eğrisinde
p+ 3
tane farklı değeri vardır. Sabit bir x için iki farklı y değeri vardır ve
2
bu y’lerin toplamı p ’dir.
3 2 2
İspat Denkliğimizi x ≡ y + n x (mod p)
biçiminde tekrar yazalım.
y ≡ 0 (mod p)
için x ≡0, n, p− n (mod p)
olur. y ≠ 0(mod p)
için
2 2
y + n x ’in