tc balıkesir üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim ...

tipleri 5’e düşer. Bunların 4. mertebeden elemanlarının mertebelerini
incelediğimizde 4 ya da 12 olduğu kolayca görülür. ■
4.3.4. Örnek
2 3 2
y x x
≡ − 33 (mod 37) eliptik eğrisini ele alalım. Nokta
sayısı N 37,33 = 40 ≡ 0 (mod 4) olur. Bu eğri üzerinde 4. mertebeden 4 eleman vardır:
( 13, 18 ) , ( 13, 19 ) , ( 24, 3 ) ve ( 24, 34 ) .
2 3 2
y x x
66
≡ −5 (mod 41) eliptik eğrisi için ise
N 41,5 = 32 ≡ 0 (mod 4) ’dır. Bu eğri üzerinde 4. mertebeden 12 eleman vardır: ( 29 , ) ,
( 232, , ) ( 413 , ) , ( 428 , ) , ( 85, , ) ( 836 , ) , ( 33, 4 ) , ( 33, 37 ) , ( 37, 6 ) , ( 37, 35 ) , ( 39, 1 )
ve ( 39, 40 ) .
4.3.5 Sonuç p ≡ 1(mod4) bir asal olsun. Bu durumda
a) p ≡ 1(mod8) ise E ( F ) ’nin 4. mertebeden 12 tane elemanı vardır.
n p
Bunun eşleniğinin ise 4. mertebeden elemanı yoktur.
b) p ≡ 5(mod8) ise E ( F ) ’nin 4. mertebeden 4 tane elemanı vardır. Bunun
n p
eşleniğinin ise 4. mertebeden elemanı yoktur.
İspat 4.3.1 Sonuçtan kolayca görülür.■
4.3.6 Örnek
2 3 2
y x x
≡ − 55 (mod 457) eliptik eğrisini ele alalım.
p = 457 ≡ 1 (mod 8) ’dir. Bu eğri üzerinde 4. mertebeden 12 eleman vardır: ( 54, 91 ) ,
( 54, 366 ) , ( 115, 331 ) , ( 115, 126 ) , ( 225, 345 ) , ( 225, 112 ) , ( 232, 131 ) , ( 232, 326 ) ,
( 342, 24 ) , ( 342, 433 ) , ( 403, 135 ) ve ( 403, 322 ) .
2 3 2
y x x
≡ − 24 (mod 509) eliptik
eğrisi için ise p = 509 ≡ 5 (mod 8) olur. O halde bu eğri üzerinde 4. mertebeden 4
eleman vardır: ( 98, 155 ) , ( 98, 354 ) , ( 411, 336 ) ve ( 411, 179 ) .
4.3.7 Teorem p ≡ 1(mod4) bir asal olsun. E n eğrisinde
a) Eğer n∈ Qpise
En( F p)
’nin 4. mertebeden 4 ya da 12 tane elemanı vardır,
b) Eğer n∈ Q'pise
En( F p)
’nin 4. mertebeden elemanı yoktur.
İspat 4.3.1 Sonuç ve 4.3.5 Sonuçtan görülür. ■