tc balıkesir üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim ...

) p ≡ 5(mod8) bir asal olsun. Bu durumda
i) r ≡ 1(mod4) ise (3.1.1) tipindeki eğri için t = 2r
ve
N ≡ 4(mod8) olur. Bu yüzden de E ( F ) ’nin 4. mertebeden elemanı
65
n p
yoktur. Bu eğrinin eşleniği için t = − 2r
ve N ≡ 0(mod8) olur. Bu da
grubun 4. mertebeden eleman bulundurmasını gerektirir.
ii) r ≡ 3(mod4) ise (3.1.1) tipindeki eğri için t = 2r
ve
N ≡ 0(mod8) olur. Ayrıca E ( F ) ’nin 4. mertebeden elemanı vardır. Bu
n p
eğrinin eşleniği için t = − 2r
ve N ≡ 4(mod8) olur. Bu yüzden de grubun
4. mertebeden elemanı yoktur.
4.3.2 Örnek p = 349 ≡ 5 (mod 8) bir asal iken
2 3 2
y ≡ x − x
71 (mod 349)
eliptik eğrisini ele alalım. N 349,71 = 340 , t = 10 ve r = 5 ≡ 1 (mod 4) ’dır. O halde
N = 340≡ 4(mod8) olur. Bu yüzden de eğrinin 4. mertebeden elemanı yoktur.
Bu eğrinin bir eşleniği olan
349,16
2 3 2
y x x
≡ − 16 (mod 349) eliptik eğrisini alırsak
N = 360 , t =− 10 ve r = 5 ≡ 1 (mod 4) olur. O halde N = 360 ≡ 0 (mod 8) ’dır.
Bu da 4. mertebeden eleman bulundurmasını gerektirir. Bunlar da ( 82, 269 ) ,
( 82, 80 ) , ( 267, 43 ) ve ( 267, 306 ) noktalarıdır.
Frey eliptik eğrilerinin p modunda sınıflandırılmasında 4. mertebeden
elemanlar çok önemli bir yer tutmaktadır. Şimdi 4. mertebeden eleman sayısının 4
veya 12 olduğunu gösterelim.
4.3.3 Teorem p ≡ 1(mod4) bir asal olsun. Eğer E n eğrisi üzerindeki nokta
sayısı N ≡ 0(mod4) ise eğri üzerinde 4. mertebeden 4 ya da 12 tane nokta vardır.
İspat 2.3.24 Teorem ve 2.3.25 Sonuç gereği E n eğrisi üzerinde sonsuzdaki
nokta ile birlikte en çok 16 nokta vardır. Bu noktalar için mümkün olan 14 farklı
grup tipi vardır [24]. Fakat 4.1.4 Sonuçtan biliyoruz ki 2. mertebeden yalnız 3 nokta
içeren bir grup yapısı söz konusudur. Bu durumu ele aldığımızda olabilecek grup