tc balıkesir üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim ...

2 3 2
İspat y ≡ x − n x (mod p)
eğrisinde x’in 0, n ve p-n’den başka p-3 tane
2 3 2
değeri vardır. O zaman bu x’ler için y ≡ x − n x (mod p)
eğrisinde ya 2 tane y
değeri vardır ya da hiçbir y değeri yoktur. Eğer 2 değeri varsa bunların toplamının p
olduğu açıktır. ■
2 3 2
3.2.6 Örnek y ≡ x − 2 x (mod 7)
eğrisini ele alalım. Bu eğrideki rasyonel
noktalar (,) 00 , ( 20 , ) , ( 50 , ) , (, 12 ) , (, 15 ) , (,) 31 ve (, 36 ) dır. Burada apsisleri aynı
olan noktaların ordinatları toplamı 7’dir.
2 3 2
y = x − n x eğrisi iki durumda farklılık göstermektedir. Bunlar
p ≡ 1(mod4) ve p ≡ 3 (mod 4) olduğu durumlardır.
3.3 p ≡ 1 (mod 4) Asal İken Frey Eliptik Eğrilerindeki Rasyonel
Noktalar
p ’nin 4 modunda 1’e denk olduğu durumda, (3.1.1) eğrisinde, rasyonel
noktaların özellikleriyle ilgili elde edilen sonuçları verelim.
3.3.1 Teorem p ≡ 1(mod4) asal olsun. 1≤n≤ p− 1 olmak üzere
43
p− 1
2
2 3 2
p− 1
tane y = x − n x (mod p)
eğrisinin tanesinin her birinde x ∈ Qp
olan iki
4
nokta, diğer yarısında da x ∈ Q 'p olan iki nokta vardır.
2 3 2
İspat y ≡ x − n x (mod p)
eğrisinde y = 0 için x = 0 , x = n ve x = p− n
olur. 2.1.11. Teoreme göre n∈ Qpise
p−n∈ Qpolacağından
x ∈ Qp
olur ki
Q
p
p −1
= olduğundan buradaki n’lerin sayısı Q p ’nin elemanı kadar olur. O halde
2
p − 1
tane farklı eğri olur. n∈ Qpile
p−n∈ Qpaynı
eğride yer aldığından tam
2