tc balıkesir üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim ...

3.3.5 Teorem p ≡ 1(mod4) bir asal olsun. Bu takdirde 3
x ≡ t (mod p)
denkliğinin x tam sayı çözümlerinin toplamı p modunda sıfıra denktir.
burada
İspat
3
x ≡ 1(mod p)
denkliğinin çözümleri
45
2
≡ 1, ωω , (mod ) dir ki
x p
−1+
3i
ω = birimin küp köküdür. Genel olarak
2
3
x ≡ t (mod p)
’nin
çözümleri x 0 bir özel çözüm olmak üzere
de
ve aynı şekilde
3 3 3 3
0 0 0 0
x ≡ x x x p dir. Gerçekten
2
0, 0ω, 0ω
(mod )
( x ω) ≡ x ω ≡ x ≡ t (mod p)
( x ω ) ≡ x ω ≡ x ( ω ) ≡ x ≡ t (mod p)
2 3 3 6 3 3 2 3
0 0 0 0
dir. Dolayısıyla bu çözümlerin toplamı
x + x ω+ x ω = x + x ω+ x ( −1 − ω)
= 0
2
0 0 0 0 0 0
dir. Eğer çözüm yoksa toplam 0 olarak düşünülebilir. ■
3.3.6 Teorem p ≡ 1(mod4) bir asal olsun. 0 ≤ x ≤ p − 1 olacak şekilde
herhangi bir x tam sayısı alalım. O zaman bir 1≤ n≤ p−
1 için
p | j( p ) dir. Özellikle
p−1
( ) = ∑ (1 + χ(
x=
0
3
−
2
)).
j p x n x x
p−1
( ) = ∑
χ(
x=
0
3
−
2
).
k p x n x x