Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Plochy
Poznámka 3.
Pro plochu z = z(x, y) dostaneme základní veličiny 1. řádu ve tvaru
E 1
z
x
2
, F
z
x
2
z
y , G 1 z
,
y
diskriminant D 1
z
x
2 2
z
y
,
pro plošný element výraz
2 2
Pro diferenciál ds oblouku křivky na ploše z = f(x,y) platí:
z z
2 2
dP 1 dxdy 1 p q dxdy
.
x y
ds ( 1 p ) dx 2pq dxdy ( 1 q ) dy
2 2 2 2 .
Druhá základní forma plochy
Druhá základní forma plochy určuje její tvar vzhledem k tečné rovině plochy.
Věta 11.
Pro křivku u = u(s), v = v(s), (s je její oblouk) na ploše r = r(u, v) platí
-dr dn = L du 2 + 2M dudv + N dv 2 II (10.6)
kde L = -r u n v, 2M = -(r u n v + r v n u ), N = -r v n v (10.7)
kde
n
u
n
u , n n
v
v ,
n je jednotkový vektor normály plochy
Forma (10.6) se nazývá druhá základní forma plochy. Veličiny L,¨M, N dané vztahy (10.7)
se nazývají základními veličinami 2.řádu plochy.
Věta 12.
Platí
kde
L
r
uu
r
EG
r r
uu u
v
2
r
u , r 2
r
r r
uv u
v
2
F
, M 2
EG F
, N EG F
uv
2
r
u v , r
vv
2
r
v 2
r
r r
vv u v
2
106