Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Oskulační kruţnice
Lze napsat ( opět bez důkazu ), ţe rovnice rovinné křivky o první křivosti 1 k = 1 k(s), ( 2 k = 0) je moţno vţdy
napsat ve tvaru :
1
x cos k ds c ds a
1
1
y sin k ds c ds a
z 0
2
(7.4)
kde a 1 , a 2 , c jsou libovolné reálné konstanty.
Nechť x = x(s), y = y(s), z = 0, jsou rovnice hledané rovinné křivky.
Potom je
t . t = x ’2 + y ’2 = 1
a lze tedy poloţit
x ’ = cos (s), y ’ = sin (s). (7.41)
Následkem toho lze psát:
t’ . t’ = 1 kn. 1 kn = 1 k 2 = x “2 + y “2 = sin 2 (s)[ ´ (s)] 2 + cos 2 (s)[ ´ (s)] 2 = [ (s)] 2
1 k(s) = ´ (s)
kde
(s) =
1 k(s) ds + c. (7.42)
Poznámka: Znaménko dává dvě křivky souměrné dle osy x.
Dosazením (7.42) do (7.41) a provedením příslušné integrace dostaneme právě rovnice (7.4).
Opačně pak lze ukázat, ţe pro křivku (7.4) je skutečně 1 k(s) první křivostí. Tímto je platnost uvedené věty se
vzorci (7.4) dokázána.
Zvolme a 1 = a 2 = c = 0 dostaneme z rovnic (7.4) rovnice
x = cos (
1 k ds) ds, y = sin (
1 k ds) ds, z = 0. (7.43)
Pouţití známých vzorců z trigonometrie pro cos ( + ) a sin ( + ) na prvé dvě rovnice vztahu (7.4) nám
umoţňuje tyto přepsat do tvaru
x ,
1
= cosc cos ( k ds)ds - sin c sin (
1 k ds)ds + a1
y .
1
= cosc sin ( k ds)ds + sin c cos(
1 k ds)ds + a2
Přepíšeme-li tyto rovnice dle (7.43), můţeme rovnice (7.4) vyjádřit ve tvaru
x = x cos c - y sin c + a 1 , y = x sin c + y cos c + a 2 , z = 0.
Z těchto rovnic je patrné, ţe všechny rovinné křivky (z = 0 ) o stejné první křivosti
1 k(s) v bodě s
dostaneme z některé z křivek (7.43) otočením o úhel c a posunutím podél orientované úsečky dané vektorem
a(a 1 ,a 2 ).
Příklad 1.
Určete parametrické rovnice křivky, jejíţ přirozené rovnice jsou
69