Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Křivky
Funkce s(t) je definována na celém intervalu J a nazývá se obloukem křivky. Oblouk křivky
začíná v bodě P(t), který odpovídá parametru t a končí v bodě P(t) odpovídajícímu
parametru t. Délka křivky v diferenciálním a integrálním počtu je definována jako absolutní
hodnota funkce oblouku |s(t)|.
Po zavedení označení:
můţeme psát
x = dx
dt
s(t) =
, y = dy
dt
t
t
0
, z = dz
dt
, resp. p = dp
dt
, (5.13)
2 2 2
x y
z
. dt (5.14)
s(t) =
t
t
0
p . p . dt
(5.15)
Dále označíme s (t) derivaci funkce s(t). Z rovnic (5.14) a (5.15) plyne
s (t) =
2 2 2
x y
z
p
. p
Z tohoto a (5.2) plyne, ţe pro všechna t J je s 0.
(5.16)
K funkci s = s(t), pro t
J lze sestrojit inverzní funkci
t = t(s) s I.
Z (5.16) vypočteme, ţe pro derivaci této inverzní funkce
platí:
dt
ds = 1
s ( t)
=
x
2
1
y
2
z
2
=
1
p.
p
.
Jelikoţ na celém intervalu J je s (t) 0, má i inverzní funkce t = t(s) v odpovídajícím
intervalu I derivaci různou od nuly. Můţeme proto pomocí této přípustkové funkce provést
regulární transformaci parametru na křivce, pro níţ máme vektorovou rovnici
p = p[t(s)], kde s I, (5.17)
resp. p = p(s), kde s I. (5.18)
V rovnicích (5.17) a (5.18) parametrem je oblouk. Parametr s tedy "měří" na křivce její délku.
Příklad 5. Na šroubovici dané vektorovou rovnicí zaveďte oblouk jako parametr.
Vektorová rovnice šroubovice:
p = (r.cos t, r.sin t, c t) pro t (- ,+ ).
Spočteme, ţe p = ( - r . sin t, r . cos t, c ),
54