Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Oskulační kruţnice
Z rovnic pro t x a t y a pro n x a n y je 1 r s c 0 . Pro oblouk s z bodu [0,0], pro který je s 0 = 0,
dostaneme z poslední rovnice c = 0. Z rovnic (7.6) dostaneme
x(0) = a , y(0) = -r + b = 0 , tj. b = r.
Parametrické rovnice křivky s přirozenými rovnicemi (7.5) při daných počátečních podmínkách jsou
x s
r
s
sin
r
, y s
2 2
V implicitním tvaru je potom x y 2 r y 0 .
r
r
1 cos .
s
Příklad 2. Zobrazte křivku, její první křivost 1 k je přímo úměrná délce oblouku s. Přirozené rovnice křivky
k
(klotoidy) jsou 1 2
a , 2 k = 0
s
(a je reálné).
Při vhodné volbě soustavy souřadnic lze kartézské souřadnice bodů klotoidy vyjádřit tzv. Fresnelovými integrály.
x s
a
2
0
cos
d
,
y s
a
2
0
sin
d
,
kde
2a
2
s
2
je úhel tečny křivky v jejím bodě [x,y] se souřadnicovou poloosou +x.
Obr.7.1
7.3 Styk křivek, oskulační kruţnice
Nechť jsou dány dvě křivky k 1
k 2 o rovnicích
1 p = 1 p(s) a 2 p = 2 p(s), (7.7)
vztaţené k jednomu parametru s, který je obloukem na obou křivkách, a mají společný bod (regulární na obou
křivkách) s = 0, tj. platí 1 p 0 = 2 p 0 , od kterého budeme počítat parametr s na obou křivkách. Na kaţdé z těchto
křivek uvaţujeme bod, který přísluší k téţe hodnotě parametru s a zkoumáme vzájemnou polohu křivek v
71