Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Křivky. Tečná a oskulační rovina
Nejprve je nutno ukázat, ţe pro druhou křivost 2 k regulární křivky dané vektorovou rovnicí
(6.11) resp. (6.15) platí vzorce:
| 2 k| = |b'|, (6.25)
2 k = -b' . n, (6.26)
2 k =
p' , p'' , p'''
1
k
2
(6.27)
2 k =
p
p,p,p
p
. p
p
(6.28)
V rovnici (6.24) vynásobíme skalárně levou i pravou stranu samo sebou a tak dostaneme
rovnici (6.25). Vynásobením - skalárním - rovnice (6.24) vektorem n, dostaneme rovnici
(6.26).
Důkaz:
Pro důkaz vztahu (6.27) musíme pouţít vztahů
Odtud a z (6.26) plyne, ţe
2 k =
Jednoduchou úpravou dostaneme vztah (6.27)
n = p''
1 k
p' p'' p'''
.
1 1
k k
, b =
p' p''
1 k
K odvození vztahu (6.28) pouţijeme vztah (6.27), který upravíme pomocí rovnic
2
p' = p dt
2
ds , p’’ = dt d t
dt
p p a p’’’ = p Ap
Bp
,
2
ds ds
ds
{A,B ... funkce, které není třeba počítat}
3
1
1
k
2
p.p
p
p
3
2
.
Dostaneme tak vztah
2 k =
p,p,p
p
p
6
dt
3
p. p
2
ds
Odtud a z rovnic
ds
dt
6
1
ds
dt
6
1
3
p.p
lze odvodit vztah (6.29)
64